第一章 线性泛函分析基础 1
1.1 拓扑空间 1
1.1.1 拓扑空间的概念 1
1.1.2 网 4
1.1.3 连续映射 5
1.1.4 距离空间 6
1.1.5 距离空间的完备性 7
1.2 拓扑线性空间 8
1.2.1 拓扑线性空间的概念 8
1.2.2 赋准范线性空间 12
1.2.3 赋范线性空间 13
1.2.4 内积空间 14
1.3 紧性 16
1.3.1 紧集的概念 16
1.3.2 紧集上的连续映射 17
1.3.3 Zorn引理 18
1.3.4 紧空间的乘积空间 18
1.3.5 Stone-Weierstrass定理 19
1.3.6 距离空间中的列紧集与完全有界集 22
1.3.7 有限维赋范线性空间的特征 24
1.3.8 Banach-Alaoglu定理 25
1.3.9 Hilbert空间单位球的弱紧性 28
1.4 Hahn-Banach定理及其几何形式 29
1.4.1 线性空间上线性泛函的延拓 29
1.4.2 赋范线性空间上连续线性泛函的延拓 30
1.4.3 自反空间 31
1.4.4 凸集的分离性 33
1.4.5 端点、Krein-Milman定理 35
1.5 线性算子基本定理 36
1.5.1 开映射定理 36
1.5.2 逆算子定理和范数等价定理 38
1.5.3 闭图像定理 39
1.5.4 共鸣定理 39
1.5.5 应用 40
1.5.6 点列的收敛性 43
习题 46
第二章 谱论Ⅰ:Banach空间上的紧算子及Fredholm算子 49
2.1 Banach代数中元素的谱 49
2.1.1 代数和理想 49
2.1.2 赋范代数 50
2.1.3 Banach代数中元素的谱 52
2.2.1 线性算子谱的概念 57
2.2 线性算子的谱 57
2.2.2 线性算子谱的分类 58
2.2.3 近似谱点 61
2.2.4 共轭算子及共轭算子的谱 63
2.3 紧算子 65
2.3.1 有限秩算子 65
2.3.2 紧算子的概念 66
2.3.3 紧算子的Riesz-Schauder理论 70
2.3.4 Banach空间的直和分解 72
2.3.5 紧算子的Riesz-Schauder理论（续） 74
2.4.1 Fredholm算子的概念 75
2.4 Fredholm算子 75
2.4.2 Fredholm算子的性质 76
习题 80
第三章 谱论Ⅱ:Hilbert空间上的正规算子 82
3.1 Banach代数的Gelfand表示 82
3.1.1 可乘线性泛函 82
3.1.2 Gelfand表示 84
3.1.3 极大理想空间 85
3.2 C*代数 87
3.2.1 C*代数的概念 87
3.2.2 C*代数中的正规元 88
3.2.3 Gelfand-Naimark定理 89
3.2.4 GNS构造 90
3.3 谱测度和谱积分 92
3.3.1 投影算子 93
3.3.2 谱测度与谱积分 94
3.3.3 谱系 99
3.4 Hilbert空间上正规算子的谱分解 99
3.4.1 谱定理与函数演算 100
3.4.2 函数演算的扩充 101
3.4.3 正规算子的谱分解定理 102
3.4.4 正规算子的谱 104
3.4.5 vonNeumann代数 106
习题 108
第四章 无界算子 111
4.1 对称算子和自伴算子 111
4.1.1 稠定算子的共轭算子 111
4.1.2 对称算子与自伴算子的概念 112
4.1.3 算子的图像 114
4.1.4 对称算子为自伴算子的条件 115
4.1.5 Cayley变换 117
4.1.6 无界函数的谱积分 120
4.1.7 自伴算子的谱分解定理 124
4.2.1 闭对称算子的亏指数 125
4.2 对称算子的自伴扩张 125
4.2.2 正定双线性泛函 127
4.2.3 半有界算子的Friedrichs扩张定理 130
4.3 自伴算子的扰动 131
4.3.1 可闭算子的扰动 132
4.3.2 自伴算子的扰动 135
4.3.3 自伴算子在扰动下的谱 138
4.4 无界算子序列的收敛性 140
4.4.1 预解意义下的收敛性 141
4.4.2 图意义下的收敛性 148
习题 150
第五章 算子半群 153
5.1 向量值函数 153
5.1.1 向量值函数的连续性 153
5.1.2 向量值函数的可导性 154
5.1.3 向量值函数的Riemann积分 156
5.1.4 向量值函数的可测性 157
5.1.5 强可测与弱可测的关系 157
5.1.6 算子值可测函数 160
5.2.1 Pettis积分 161
5.2 Bochner积分和Pettis积分 161
5.2.2 Bochner积分 164
5.2.3 Bochner积分的性质 168
5.3 算子半群的概念 171
5.3.1 算子半群概念的由来 171
5.3.2 C0类算子半群 173
5.3.3 算子半群的一些例子 174
5.4 C0类算子半群的表示 176
5.4.1 C0类算子半群无穷小母元的概念 176
5.4.2 无穷小母元的预解式 178
5.4.3 C0类算子半群的表示 181
5.5 无穷小母元的特征 185
5.5.1 C0类算子半群无穷小母元的特征 185
5.5.2 标准型C0类算子半群母元的特征 188
5.5.3 C0类压缩半群母元的特征 189
5.5.4 Hilbert空间上C0类压缩半群母元的特征 189
5.6 单参数酉算子群、Stone定理 190
5.6.1 单参数算子群的无穷小母元 191
5.6.2 Stone定理 192
5.6.3 Stone定理的应用：Bochner定理 195
5.7 遍历定理 198
5.7.1 相空间上的保测变换 198
5.7.3 不可压缩稳定流 201
5.7.2 Boltzmann遍历假设 201
5.7.4 遍历定理 203
5.7.5 变换群的遍历性 205
习题 207
第六章 无穷维空间的微分学 210
6.1 映射的微分 210
6.1.1 Gateaux微分 210
6.1.2 Frèchet微分 213
6.1.3 高阶导数 219
6.1.4 Taylor公式 222
6.1.5 幂级数 224
6.2.1 Cp映射与微分同胚 226
6.2 隐函数定理 226
6.2.2 隐函数的存在性 227
6.2.3 隐函数的可微性 229
6.3 泛函极值 232
6.3.1 线性方程的解与二次泛函的极小问题 232
6.3.2 泛函极值的必要条件 235
6.3.3 泛函极值的存在性：下半弱连续条件 236
6.3.4 最速下降法 239
6.3.5 泛函极值的存在性：Palais-Smale条件 243
习题 246
7.1.1 C1类映射的拓扑度（非临界点情形） 248
第七章 拓扑度 248
7.1 Brouwer度 248
7.1.2 3个引理 252
7.1.3 C1类映射的拓扑度（一般情形） 255
7.1.4 Brouwer度 258
7.1.5 Brouwer度的性质 259
7.2 Leray-Schauder度 265
7.2.1 一个例子 266
7.2.2 全连续映射 267
7.2.3 Leray-Schauder度的定义 268
7.2.4 Leray-Schauder度的性质 270
7.3.1 Brouwer不动点定理 275
7.3 不动点定理及其应用 275
7.3.2 Schauder不动点定理 276
7.3.3 非紧性测度 279
7.3.4 集压缩映射的不动点 282
7.3.5 Kakutani不动点定理 283
7.3.6 应用：代数学基本定理 285
7.3.7 应用：不变子空间 285
7.3.8 应用：对策论基本定理 287
习题 288
参考文献 289