第1章 矢量与张量 1
1.1 矢量及其代数运算公式 1
1.1.1 矢量 1
1.1.2 点积 2
1.1.3 叉积 3
1.1.4 混合积 3
1.2 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量 5
1.2.1 平面内的斜角直线坐标系 5
1.2.2 三维空间中的斜角直线坐标系 7
1.2.2.1 斜角直线坐标系 7
1.2.2.2 协变基矢量 8
1.2.2.3 逆变基矢量 8
1.2.2.4 由协变基矢量求逆变基矢量 9
1.2.2.5 指标升降关系 10
1.3.1 曲线坐标系 11
1.3 曲线坐标系 11
1.3.2 空间点的局部基矢量 12
1.3.3 正交曲线坐标系与Lamé常数 13
1.4 坐标转换 14
1.4.1 基矢量的转换关系 14
1.4.2 协变与逆变转换系数 15
1.4.3 矢量分量的坐标转换关系 16
1.4.4 度量张量分量的坐标转换关系 16
1.5 并矢与并矢式 17
1.5.1 并矢 17
1.5.2 缩并 19
1.5.3 并矢的点积与双点积 19
1.5.4 并矢的相等 20
1.6 张量的基本概念 21
1.6.1 矢量的分量表示法与实体表示法 21
1.6.2 张量的定义与两种表示法 23
1.6.2.1 张量的分量表示法 24
1.6.2.2 张量的实体表示法(并矢表示法) 25
1.6.3 度量张量 26
1.7 张量的代数运算 27
1.7.1 张量的相等 27
1.7.2 张量的相加 27
1.7.3 标量与张量相乘 28
1.7.4 张量与张量并乘 28
1.7.5 张量的缩并 28
1.7.6 张量的点积 29
1.7.7 转置张量 30
1.7.8 张量的对称化与反对称化 31
1.7.9 张量的商法则 32
1.8 张量的矢积 35
1.8.1 置换符号与行列式的展开式 35
1.8.2 置换张量(Eddington张量)与ε～δ等式 37
1.8.3.1 两个矢量的矢积 40
1.8.3 矢积 40
1.8.3.2 三个矢量的混合积 41
1.8.3.3 三个矢量的三重积 42
1.8.3.4 张量的矢积 42
习题 43
第2章 二阶张量 49
2.1 二阶张量的矩阵 49
2.1.1 二阶张量的四种分量所对应的矩阵 49
2.1.2 二阶张量的转置，对称、反对称张量及其所对应的矩阵 50
2.1.3 二阶张量的行列式 51
2.1.4 二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算 52
2.2 正则与退化的二阶张量 53
2.2.1 关于映射的几个定理 53
2.2.2 正则与退化 54
2.3.2 二阶张量的三个主不变量 55
2.3 二阶张量的不变量 55
2.3.1 张量的标量不变量 55
2.3.3 二阶张量的矩 56
2.4 二阶张量的标准形 57
2.4.1 实对称二阶张量的标准形 57
2.4.1.1 基本概念 57
2.4.1.2 对称二阶张量的特征方程 58
2.4.1.3 实对称二阶张量的特征根必为实根 58
2.4.1.4 实对称二阶张量主方向的正交性 59
2.4.1.5 实对称二阶张量所对应的线性变换 59
2.4.1.6 主分量是当坐标转换时N的混合分量对角元素之驻值 59
2.4.1.7 对称二阶张量标准形的应用 60
2.4.2 非对称二阶张量的标准形 61
2.4.2.1 特征方程无重根的情况 61
2.4.2.2 特征方程有重根的情况 63
2.5.2 度量张量G 69
2.5 几种特殊的二阶张量 69
2.5.1 零二阶张量O 69
2.5.3 二阶张量的幂 70
2.5.3.1 二阶张量的正整数次幂 70
2.5.3.2 二阶张量的零次幂 70
2.5.3.3 二阶张量的负整数次幂 70
2.5.4 正张量、非负张量及其方根、对数 70
2.5.5 二阶张量的值 72
2.5.6 反对称二阶张量 72
2.5.6.1 定义 72
2.5.6.2 反对称二阶张量的主不变量 72
2.5.6.3 反对称二阶张量的标准形 72
2.5.6.4 反对称二阶张量的反偶矢量 73
2.5.7 正交张量 74
2.5.7.1 定义 74
2.5.6.5 反对称二阶张量Ω所对应的线性变换 74
2.5.7.2 正交变换的“保内积”性质 75
2.5.7.3 正交张量的并矢表达式 75
2.5.7.4 正交张量的标准形 76
2.6 二阶张量的分解 77
2.6.1 二阶张量的加法分解 77
2.6.1.1 球形张量与偏斜张量 78
2.6.1.2 利用偏斜张量求对称二阶张量的主分量与主方向 79
2.6.1.3 二阶张量标量不变量的进一步分析 82
2.6.2 二阶张量的乘法分解(极分解) 84
2.7 正交相似张量 86
习题 87
第3章 张量函数及其导数 91
3.1 张量函数、各向同性张量函数的定义和例 91
3.1.1 什么是张量函数 91
3.1.2 张量函数举例 92
3.1.3 各向同性张量函数 93
3.2 矢量的标量函数 95
3.3 二阶张量的标量函数 98
3.4 二阶张量的二阶张量函数 99
3.4.1 二阶张量的解析函数 99
3.4.2 Hamilton-Cayley等式 101
3.4.3 同时化为对角型标准形的函数 102
3.4.4 对称张量的对称张量函数 105
3.5 张量函数导数的定义，链规则 111
3.5.1 有限微分、导数与微分 111
3.5.2 张量函数导数的链规则 115
3.5.3 两个张量函数乘积的导数 117
3.6 矢量的函数之导数 117
3.6.1 矢量的标量函数 117
3.6.2 矢量的矢量函数 119
3.6.4.1 张量函数的梯度 120
3.6.3 矢量的二阶张量函数 120
3.6.4 张量函数的梯度、散度和旋度 120
3.6.4.2 张量函数的散度 121
3.6.4.3 张量函数的旋度 121
3.7 二阶张量的函数之导数 122
3.7.1 二阶张量的标量函数之导数 122
3.7.2 二阶张量的不变量的导数 124
3.7.3 二阶张量的张量函数之导数 126
习题 128
第4章 曲线坐标张量分析 132
4.1 基矢量的导数，Christoffel符号 133
4.1.1 协变基矢量的导数及第二类Christoffel符号 133
4.1.2 第一类Christoffel符号 134
4.1.4 ？对坐标的导数，Γ？i的计算公式 136
4.1.5 坐标转换时Christoffel符号的转换公式 136
4.1.3 逆变基矢量的导数 136
4.2 张量场函数对矢径的导数、梯度 137
4.2.1 有限微分、导数与微分 137
4.2.2 梯度 139
4.3 张量分量对坐标的协变导数 140
4.3.1 矢量场函数的分量对坐标的协变导数 140
4.3.2 张量场函数的分量对坐标的协变导数 144
4.3.3 协变导数的一些性质 145
4.4 张量场函数的散度与旋度 149
4.5 积分定理 151
4.5.1 预备知识 151
4.5.2 Green变换公式 152
4.5.3 Stokes变换公式 155
4.6 Riemann-Christofrel张量(曲率张量) 158
4.6.1 Euclidean空间与Riemann空间 158
4.6.2 Euclidean空间应满足的条件 160
4.6.3 证明R？rsq是张量分量 162
4.6.4 Riemann-Christoffel张量的性质 164
4.6.5 关于张量分量二阶协变导数的Ricci公式，Bianchi恒等式 166
4.7 张量方程的曲线坐标分量表示方法 169
4.8 非完整系与物理分量 170
4.8.1 非完整系 170
4.8.2 物理分量 173
4.8.2.1 非完整系基矢量的选择 173
4.8.2.2 矢量的物理分量 173
4.8.2.3 二阶张量的物理分量 174
4.9 正交曲线坐标系中的物理分量 175
4.9.1 正交标准化基、度量张量与物理分量 175
4.9.2 基矢量对坐标的导数 176
4.9.3 正交系中张量表达式的物理分量形式 179
习题 180
5.1.1 曲面的参数方程与Gauss坐标 184
5.1 曲面的基本知识 184
第5章 曲面上的张量分析 184
5.1.2 曲面的基本矢量 185
5.1.3 曲面的第一基本张量 186
5.1.4 曲面的第二基本张量 188
5.1.5 曲面上曲线的曲率，曲面的法截面曲率、主曲率、平均曲率与Gauss曲率 189
5.1.5.1 曲面上曲线的曲率、Frenet公式 189
5.1.5.2 曲面的法截面曲率 190
5.1.5.3 曲面的主曲率、平均曲率、Gauss曲率 192
5.1.6 曲率线，主坐标，渐近线 194
5.1.7 旋转张量 197
5.1.8 非完整系与物理分量 199
5.2 曲面上基本矢量的求导公式 201
5.2.1 法向矢量对坐标的导数(Weingarten公式) 201
5.2.2 基矢量对坐标的导数(Gauss求导公式)，曲面上的Christoffel符号 201
5.2.3 第一基本张量分量的导数与协变导数 202
5.2.4 单位矢量的求导公式 203
5.3 曲面的基本方程,Riemann-Christoffel张量 205
5.3.1 Codazzi方程与Gauss方程 205
5.3.2 Riemann-Christoffel张量 206
5.3.3 可展曲面与不可展曲面 208
5.3.4 Gauss方程的其他形式 209
5.3.5 以物理分量表达的Codazzi方程与Gauss方程 210
5.4 曲面上场函数的导数 211
5.4.1 曲面上的标量场函数 211
5.4.2 曲面上的矢量场函数 212
5.4.2.1 曲面上矢量场函数的微分与梯度 212
5.4.2.2 曲面上矢量场函数的梯度之分量表达式 213
5.4.2.3 曲面上矢量场函数的散度与旋度 215
5.4.3 曲面上的切面张量场函数 215
5.5 等距曲面(平行曲面) 217
5.5.1 等距曲面的基矢量 218
5.5.2 等距曲面的第一基本形 219
5.5.3 参考曲面的第三基本形 220
5.5.4 等距曲面上面元的面积 222
5.5.5 等距曲面的第二基本形 222
5.5.6 主坐标系中等距曲面的几何参数 223
习题 224
第6章 张量场函数对参数的导数 227
6.1 质点运动 227
6.1.1 质点的运动速度 227
6.1.2 任意矢量对参数的导数 229
6.1.3 举例 230
6.2 Euler坐标与Lagrange坐标 232
6.2.1 Euler坐标 232
6.2.2 Lagrange坐标 233
6.2.4 质点速度和物质导数 235
6.2.3 两种坐标系的转换关系 235
6.3 基矢量的物质导数 237
6.3.1 Lagrange基矢量的物质导数 237
6.3.2 度量张量的物质导数、应变率张量 238
6.3.3 速度场的加法分解 240
6.3.4 Fuler基矢量的物质导数 242
6.4 矢量场函数的导数 243
6.4.1 Lagrange坐标系中矢量场函数的物质导数 243
6.4.2 Euler坐标系中矢量场函数的物质导数、全导数 245
6.4.3 坐标转换关系 248
6.4.4 矢量场函数的相对导数 249
6.4.5 各种导数间的关系 253
6.5 张量场函数的导数 253
6.5.1 任意阶张量函数的物质导数 253
6.5.2 二阶张量场函数及其相对导数 258
6.6 连续介质变形与运动的初步知识 262
6.6.1 变形梯度张量，线元、面元与体元的变换 263
6.6.2 线元、面元与体元的物质导数 265
6.6.3 应变梯度张量的极分解 267
6.6.4 Green应变张量 267
6.6.5 应力张量 270
6.6.6 应力率 271
6.6.7 弹性本构关系 272
6.6.8 举例 273
6.6.9 张量场函数在域上积分的导数 275
6.6.9.1 张量场函数在物质体积域上的质量积分 275
6.6.9.2 张量场函数在物质体积域上的体积积分 277
6.6.9.3 张量通过物质开曲面的通量 278
6.6.9.4 张量沿物质封闭曲线的环量 281
6.6.9.5 张量场函数在非物质域上积分的导数 282
习题 284
参考书目 286