目录 1
第一章 预备知识 1
1.1 用语和记号 1
1.2 几何与三角 5
1.3 面积和体积 8
1.4 不等式 13
1.5 记号∑ 15
第二章 简单的代数结果 18
2.1 和与积 18
2.2 任何平方数都是正数或零 19
2.3 算术——几何平均数不等式 25
2.4 交替证明法 29
2.5 柯西的证明 30
2.6 求极值的技巧 33
2.7 算术——调和平均数不等式 45
2.8 数e 48
2.9 柯西不等式 51
第三章 初等的几何问题 60
3.1 序 60
3.2 三角形 61
3.3 四边形 64
3.4 几何杂题 69
3.5 镜像原理 80
3.6 等价结果 84
3.7 辅助圆 88
第四章 等周问题的结论 98
4.1 若干定义 98
4.2 多边形 101
4.3 等周定理 103
4.4 等周商 107
4.5 存在与唯一性 110
第五章 基本的三角不等式 117
5.1 一个新方向 117
5.2 若干三角不等式 118
5.3 琴生不等式 123
5.4 其它的三角函数 127
5.5 asinθ＋bcosθ的极值 131
5.6 顶风行船 135
第六章 内接多边形和外切多边形 140
6.1 引言 140
6.2 正多边形 143
6.3 内接和外切多边形 145
6.4 π的定义 150
6.5 圆与正多边形的比较 154
7.1 基本变换 158
第七章 椭圆 158
7.2 参数方程 162
7.3 内接于椭圆的多边形 163
7.4 外切多边形 165
7.5 切线和极值 166
7.6 点到曲线的最短距离 172
7.7 椭圆上的极值点 176
第八章 蜜蜂和六边形 180
8.1 两个问题 180
82 用正多边形镶嵌平面 183
8.3 非凸多边形 184
8.4 用凸多边形镶嵌平面 185
8.5 总结 191
第九章 进一步的几何问题 194
9.1 引言 194
9.2 费马问题 194
9.3 内接三角形 202
9.4 厄尔多斯—摩德尔定理 209
9.5 分割线 212
9.6 把凸区域嵌入矩形 216
第十章 应用问题与杂题 223
10.1 最佳直线 223
10.2 一般的最小二乘线 225
10.3 最可能的出现次数 228
10.4 极小问题的实验解 235
10.5 托勒密定理 240
10.6 光的折射 243
10.7 时间和距离的问题 245
10.8 极小极大问题 251
10.9 穿越沙漠的吉普车 253
第十一章 欧几里德三维空间 261
11.1 初步结论 261
11.2 四面体的等周定理 264
11.3 四面体的内切球和外接球 269
11.4 球面上的最短路程 271
第十二章 不假定存在性的等周问题 280
12.1 需要严格推敲 280
12.2 内平行多边形 281
12.3 等周定理 286
12.4 多边形的等周定理 289
12.5 具有指定边长的多边形 292
关于微积分的附录 295
解答 302
参考文献 363