第0章 导读——改革解题训练 1
§0-1波利亚式的学生 1
§0-2数学创造的心智活动规律 1
目录 1
§0-3努力克服传统教学方法中的弊端 4
§0-4怎样解题 5
§0-5对怎样使用《指导》的建议 9
§0-6几个常用数学符号的意义 12
第一章 函数与极限 13
§1-1函数 13
Ⅰ内容提要 13
（1）函数的定义 13
（2）函数可能具有的几种重要几何特性 14
（5）初等函数 15
（6）非初等函数 15
（3）反函数的定义 15
（4）复合函数的定义 15
Ⅱ解题方法分类指导与范例 16
（1）确定函数的定义域和值域 16
（2）函数符号的运用 22
（3）按定义证明函数的几何特性 27
（4）求已知函数的反函数 32
（5）函数的作图（制曲线）法 33
（6）综合题 38
Ⅲ课堂练习题及其说明 48
Ⅳ补充题 60
（2）收敛数列的基本性质 63
（1）数列极限的定义 63
（3）数列极限存在的判别法 63
Ⅰ内容提要 63
§1-2数列的极限 63
（4）数列极限的四则运算法则 64
Ⅱ解题方法分类指导与范例 64
（1）根据定义验证极限 64
（2）应用极限运算法则求极限 69
（3）应用数列极限存在的判别法，证明或计算数列的极限 74
（4）应用重要极限？lim（1+1/n）n=e求极限 77
（5）求通项由递推关系式给出的数列的极限 79
（6）综合题 83
Ⅲ课堂练习题及其说明 89
Ⅳ补充题 104
§1-3函数的极限 106
Ⅰ内容提要 106
（1）函数极限的定义 106
（2）函数极限的性质 106
（3）函数极限存在的判别法 108
（4）函数极限的四则运算法则 109
（5）两个重要极限 109
Ⅱ解题方法分类指导与范例 109
（1）根据定义验证函数的极限 109
（2）应用函数极限存在的判别法则求极限 112
（3）应用极限的四则运算法则求极限 113
（4）应用两个重要极限求极限 116
（5）应用变量代换方法求极限 118
（6）综合题 119
Ⅲ课堂练习题及其说明 128
Ⅳ补充题 137
§1-4无穷小量的比较 140
Ⅰ内容提要 140
（1）lim？αβ=A 140
（2）无穷小量代换定理 140
Ⅱ解题方法分类指导与范例 141
（6）符号：O(β),o(β) 141
（1）证明在同一极限过程中的两个无穷小量是等价，同阶，或一个较另一个是高阶的无穷小量 141
（4）高阶无穷小量 141
（5）K阶无穷小量 141
（3）当x→0时，有sinx～x,tgx～x,1-cosx～1/2x2,ex-1～x,ln(1+x)～x,？-1～？1/2x 141
（2）在同一极限过程中的几个无穷小量，取定一个作为比较的标准，问，其它无穷小量是它的几阶无穷小量？ 143
（3）应用等价无穷小量代换定理求极限 145
Ⅲ课堂练习题及其说明 146
Ⅳ补充题 149
§1-5连续函数 150
Ⅰ内容提要 150
（1）连续函数的定义 150
（2）间断点 151
（3）连续函数的运算 151
（4）初等函数在它们的定义域上是连续的 151
（5）函数一致连续的定义 151
（1）根据定义证明函数的连续性和一致连续性 152
Ⅱ解题方法分类指导与范例 152
（6）在闭区间上连续函数的重要性质 152
（2）函数连续性的研究 153
（3）在闭区间上连续函数性质的应用 154
（4）应用函数的连续性求极限 156
（5）综合题 159
Ⅲ课堂练习题及其说明 165
Ⅳ补充题 168
§1-6第一章 参考题 170
第二章 微分学 174
§2-1导数及其运算 174
Ⅰ内容提要 174
（1）导数的定义 174
（2）导数的几何意义 174
（3）函数在一点处可导与连续的关系 175
（4）求导数的方法 175
（5）高阶导数及其计算法 177
Ⅱ解题方法分类指导与范例 178
（1）函数的导数概念 178
（2）求（计算）导数的方法 183
（3）综合题 194
Ⅲ课堂练习题及其说明 201
Ⅳ补充题 206
§2-2微分及其应用 210
Ⅰ内容提要 210
（1）微分的定义 210
（2）可微与可导的关系 211
（3）微分的几何意义 211
（4）微分的基本公式和运算法则 211
（5）微分形式的不变性 212
（6）高阶微分 212
（7）微分的应用 213
Ⅱ解题方法分类指导与范例 214
（1）求函数在给定点处的增量和微分 214
（2）求函数的微分 214
（3）求高阶微分 217
（4）利用微分作近似计算 217
Ⅲ课堂练习题及其说明 220
Ⅳ补充题 223
2-3中值定里 224
Ⅰ内容提要 224
（1）罗尔定理 224
（2）拉格朗日中值定理 224
（3）柯西中值定理 224
Ⅱ解题方法分类指导与范例 225
（1）验证函数在给定区间上满足中值定理的条件 225
和结论 225
所在的区间（根的分离） 227
（2）运用中值定理判断方程实根的个数以及实根 227
（3）运用中值定理证明不等式 229
（4）运用中值定理进行推理证明 230
（5）综合题 233
Ⅲ课堂练习题及其说明 239
§2-4未定型极限、泰勒（Taylor）公式 242
Ⅰ内容提要 242
（1）求未定型的极限（罗必塔法则） 242
（2）泰勒公式 243
Ⅳ补充题 244
Ⅱ解题方法分类指导与范例 245
（1）求未定型的极限（罗必塔法则） 245
（2）泰勒公式 256
Ⅲ课堂练习题及其说明 272
Ⅳ补充题 276
§2-5导数的应用 277
Ⅰ内容提要 278
（1）函数的增减性与极值 278
（2）函数在区间上的最大值和最小值 278
（3）曲线的凹凸与拐点 279
（4）曲线的渐近线 279
Ⅱ解题方法分类指导与范例 280
（1）讨论函数的单调增减性和极值 280
（2）最大、最小值问题 284
（3）求函数图形的拐点 289
（4）作函数的图形 292
（5）证明不等式 294
（6）综合题 297
Ⅲ课堂练习题及其说明 302
Ⅳ补充题 306
§2-6第二章 参考题 308
（2）基本积分公式 314
（1）原函数与不定积分的概念 314
第三章 不定积分 314
内容提要 314
§3-1不定积分的概念与计算方法 314
（3）不定积分的基本性质 315
（4）基本积分法 316
Ⅱ解题方法分类指导与范例 317
（1）直接积分法 318
（2）换元积分法 320
（3）分部积分法 334
（4）综合题 345
Ⅲ课堂练习题及其说明 367
Ⅳ补充题 375
§3-2几类特殊初等函数的积分法 380
Ⅰ内容提要 380
（1）有理函数的积分法 380
（2）三角函数有理式的积分法 382
Ⅱ解题方法分类指导与范例 386
（1）有理函数的积分 386
（2）三角函数有理式的积分 392
（3）简单无理函数的积分 399
（4）综合题 406
Ⅲ课堂练习题及其说明 447
Ⅳ补充题 460
§3-3第三章 参考题 464
第四章 微分方程初步 469
§4-1微分方程的基本概念、一阶微分方程 469
Ⅰ内容提要 469
（1）微分方程的基本概念 469
（2）一阶微分方程 470
（1）可分离变量的微分方程的解法 472
Ⅱ解题方法分类指导与范例 472
（2）一阶线性方程的解法 478
（3）综合题 487
Ⅲ课堂练习题及其说明 495
Ⅳ补充题 499
§4-2二阶微分方程 501
Ⅰ内容提要 501
（1）二阶微分方程的概念 501
（2）三类可降阶的二阶微分方程 501
（3）二阶线性微分方程的基本概念 502
Ⅱ解题方法分类指导与范例 503
（1）可降阶的二阶微分方程的解法 503
（2）二阶常系数线性齐次微分方程的解法 507
（3）二阶常系数线性非齐次微分方程的求解步骤 514
Ⅲ课堂练习题及其说明 524
Ⅳ补充题 530
§4-3第四章 参考题 532
Ⅰ内容提要 536
§5-1定积分的概念与性质 536
（1）定积分的定义 536
第五章 定积分 536
（2）三类可积函数 537
（3）定积分？f（x）dx的几何意义 537
（4）定积分的基本性质 538
Ⅱ解题方法分类指导与范例 539
（1）用定义计算定积分 539
（2）定积分的几何意义，应用定积分的性质估值 543
（3）证明积分不等式的方法 548
（4）定积分中的证明题 549
Ⅲ课堂练习题及其说明 551
Ⅳ补充题 557
Ⅰ内容提要 558
（1）变上限的定积分 558
§5-2定积分的计算 558
（2）牛顿－莱布尼兹公式 559
（3）换元积分法 559
（4）分部积分法 560
（5）常用的公式 560
Ⅱ解题方法分类指导与范例 561
（1）用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分 561
（2）换元积分法 563
（3）分部积分法 569
（4）被积函数含绝对值或分段函数的积分法 573
（5）变上限的积分与有关函数、函数值、极限的求法 577
（6）综合题 581
（3）简单无理函数的积分法 584
Ⅲ课堂练习题及其说明 589
Ⅵ补充题 594
§5-3定积分的应用 598
Ⅰ内容提要 598
（1）定积分的几何应用举例 598
（2）定积分在物理上的应用举例 601
Ⅱ解题方法分类指导与范例 603
（1）平面图形的面积 604
（2）求体积 608
（3）曲线的弧长与旋转体的表面积 611
（4）定积分在物理、力学等方面的应用 619
（5）综合题 623
Ⅲ课堂练习题及其说明 630
Ⅳ补充题 635
§5-4第五章 参考题 637
附录 639
附录1硕士招生考试试题1986年10所高等院校联合试题 639
附录2硕士学位研究生招生考试全国统一数学试题汇编（1987年—1989年） 644
附录3常用数学公式 723