序言 1
第一章 索伯列夫空间及其性质 1
1 Lp(Ω)空间的定义 1
2 H？lder不等式和Mikowski不等式 3
3 Lp(Ω)空间的完备性 5
4 Lp(Ω)空间的可分性 9
5 磨光算子与均值逼近 13
5.1 磨光算子(软化子)的定义 13
5.2 均值逼近定理 15
6 单位分解定理 21
6.1 有穷单位分解定理 21
6.2 无穷单位分解定理 23
7.1 弱广义微商 25
7 广义微商及其性质 25
7.2 强广义微商 29
7.3 广义微商的性质 31
8 索伯列夫空间及其性质 32
8.1 索伯列夫空间的定义 32
8.2 索伯列空间W？(Ω)的完备性 33
8.3 ？(Ω)空间 37
第二章 索伯列夫空间嵌入定理 39
1 空间？(Ω)中的积分恒等式 40
1.1 函数u(x)的积分表示式 40
1.2 导函数D？u(x)的积分表示式 45
2 位势积分定理 48
2.1 位势第一积分定理 48
2.2 S维流形与位势第二积分定理 51
3 索伯列夫空间积分恒等式 55
4 索伯列夫空间嵌入定理 56
4.1 空间W？(Ω)往？或者？(Ω)嵌入 57
4.2 空间W？(Ω)往L？(Г？)和W？(Ω)嵌入 59
5 索伯列夫空间等价模 61
5.1 空间？(Ω) 61
5.2 索伯列夫等价模定理 62
5.3 Poincarè和Friedrichs不等式 64
6 W？(Ω)的商空间 65
6.1 空间L？(Ω) 66
6.2 商空间的定义与性质 67
第三章 索伯列夫空间扦值理论 70
1 Lax-Milgram定理 70
1.1 Lax-Milgram定理 72
1.2 广义Lax-Milgram定理 74
2 边值问题的几个例子 75
3 扦值问题的提出 79
4 一维线性扦值 83
4.1 问题的描述 83
4.2 一维线性扦值逼近定理 84
5 二维线性扦值 87
5.1 问题的描述 87
5.2 二维线性扦值逼近定理 88
6 n维r次扦值 92
6.1 Fréchet导数 92
6.2 几个引理 94
6.3 n维r次扦值逼近定理 101
1.1 能量空间与能量模的定义 104
1 能量空间与能量模估计 104
第四章 椭园型方程有限元解的误差估计 104
1.2 能量模估计 106
2 L2(Ω)模估计与尼采技巧 110
3 逆性质与最大模估计 114
3.1 有限元的逆性质 115
3.2 有限元解的H？(Ω)模估计 118
3.3 有限元解的最大模估计 119
4 Nitsche加权模方法与最大模估计 121
4.1 加权模定义与权函数关系式 121
4.2 加权扦值逼近定理 124
4.3 最大模估计 126
5 负模估计和超收敛 144
5.1 负模估计 145
5.2 有限元解的超收敛估计 147
第五章 抛物型方程有限元解的误差估计 150
1 半离散解的L2模和梯度估计 150
1.1 变分形式与半离散近似 150
1.2 L2模估计 153
1.3 梯度估计 156
2 全离散解的误差估计 159
2.1 Euler-Galerkin方法和L2模估计 159
2.2 Crank-Nicolson-Galerkin方法与L2模估计 162
3 非标准的Galerkin方法 166
3.1 问题的提出 166
3.2 尼采方法与？·？模估计 167
3.3 有限元近似的一般方法 174
3.4 L2模与梯度估计 176
4.1 ？空间和先验估计 179
4 带光滑数据齐次方程的误差估计 179
4.2 半离散解的L2模估计 183
5 负模估计 188
5.1 负模？·？H？和？·？H？，h的定义及关系 189
5.2 负模估计 192
第六章 奇异系数方程有限元解的误差估计 197
1 引言 197
2 一维稳态问题 199
2.1 变分形式与离散方程 199
2.2 加权L2模估计 202
2.3 L∞模估计 207
3 一维非稳态问题 214
3.1 半离散解加权L2模估计 215
3.2 半离散解最大模估计 217
9 二维稳态问题 221
4.1 记号与定义 221
4.2 问题的描述与弱形式 222
4.3 离散方程与扦值逼近定理 225
4.4 H？(Ω)模和L？(Ω)模估计 230
5 二维非稳态问题 231
5.1 变分形式和半离散近似 231
5.2 半离散解的L？(Ω)模和加权梯度估计 233
6 一类二维奇异边值问题 236
6.1 加权索伯列夫空间与弱形式 237
6.2 离散问题和扦值逼近 238
6.3 有限元解的误差估计 239
参考资料 240