目录 3
第一编 高等数学 3
1 极限与连续 3
1.1 用极限定义验算极限 3
1.2 定式的极限 6
1.2.1 连续函数的极限 6
1.2.2 极限的四则运算法则 6
1.2.5 无穷小的基本性质 7
1.2.4 无穷小与无穷大的关系 7
1.2.3 复合函数求极限法则 7
1.3 计算未定式极限的直接方法 8
1.3.1 分式有理式的［？］型 8
1.3.2 含根式的［？］型 8
1.3.3 ［？］型未定式 9
1.3.4 含三角函数、反三角函数的［？］型 11
1.3.5 幂指函数［1∞］型未定式 12
1.3.6 含对数式的［？］型 13
1.3.7 含指数式的［？］型 14
1.3.8 等价无穷小因式替换 15
1.4 洛必达法则 17
1.5 极限存在的准则 21
1.5.1 准则Ⅰ（夹逼准则） 21
1.5.2 准则Ⅱ 23
1.6 求极限的其他方法举例 26
1.6.1 导数定义 26
1.6.2 辅以拉格朗日中值定理 27
1.6.3 带皮亚诺余项的泰勒展开式 28
1.6.4 借助定积分定义 29
1.6.5 利用级数的性质 30
1.7 关于函数的连续性 31
习题1 38
2 一元函数微分法 43
2.1 导数的概念 43
2.2 初等显函数的微分法 48
2.2.1 基本导数公式表 48
2.2.2 求导运算法则 48
2.3.1 高阶导数 52
2.3 求导方法的拓广 52
2.3.2 隐函数的导数 56
2.3.3 由参数方程所确定的函数的导数 58
2.4 微分 61
2.4.1 微分的概念 61
2.4.2 微分的意义 62
2.4.3 弧微分 65
习题2 66
3.1 预备定理（费马定理） 71
3 微分中值定理 71
3.2 拉格朗日中值定理 72
3.2.1 用于证明恒等式 73
3.2.2 用于证明不等式 74
3.2.3 应用导数研究函数 77
3.2.4 各种含介值的等式与不等式的证明 79
3.3 泰勒中值定理的用法 85
3.3.1 选择已知条件最多的点作为展开点 85
3.3.2 选择在问题所要讨论的点处展开 87
3.3.3 在极值点处展开 89
3.3.4 中点的特别作用 91
习题3 94
4 应用导数研究函数 96
4.1 函数的单调性 96
4.2 函数的极值与最值 102
4.3 导数的几何意义 106
习题4 110
5 不定积分 115
5.1 不定积分与原函数的概念 115
5.2 积分法 117
5.2.1 分项积分法 118
5.2.2 第一换元法 120
5.2.3 第二换元法 133
5.2.4 分部积分法 139
5.2.5 非常规积分举例 145
习题5 147
6 定积分 150
6.1 定积分的概念 150
6.2 变上限积分 153
6.3.1 直接计算法 158
6.3 定积分的计算法 158
6.3.2 间接计算法 165
6.4 定积分证题选 173
习题6 183
7 向量代数与空间解析几何 193
7.1 向量代数的基本知识 193
7.2 空间平面与空间直线 198
7.2.1 基本方程 198
7.2.2 相互关系 200
7.2.3 过直线作平面 202
7.3 空间的曲面与曲线 206
7.3.1 空间曲面方程 206
7.3.2 空间曲线 211
习题7 214
8 多元函数微分法及其应用 216
8.1 多元函数的极限与连续 216
8.1.1 二元函数的极限的定义 216
8.1.2 二元函数的连续性 218
8.2.1 偏导数 220
8.2 偏导数与全微分 220
8.2.2 高阶偏导数 222
8.2.3 全微分 224
8.3 多元复合函数求导法则 227
8.3.1 m×n复合的求导法则 227
8.3.2 一阶全微分形式的不变性 230
8.3.3 复合函数的二阶偏导数 232
8.4 隐函数的导数 234
8.4.1 由一个多元方程确定的隐函数 235
8.4.2 方程组所确定的隐函数的导数 239
8.5 多元函数的极值 241
8.5.1 无条件极值 241
8.5.2 条件极值 243
8.6 多元函数微分法的其他应用 249
8.6.1 方向导数与梯度 249
8.6.2 空间曲线的切线 253
8.6.3 空间曲面的法线与切平面 254
8.6.4 二元函数的二阶泰勒公式 256
习题8 257
9.1 多元数量值函数积分的概念 262
9 多元函数积分学 262
9.2 二重积分计算法 263
9.2.1 直角坐标下的二重积分计算方法 264
9.2.2 积分顺序的选择 266
9.2.3 极坐标下的二重积分计算法 270
9.2.4 对称性的运用 274
9.2.5 二重积分的换元法 278
9.3 三重积分计算法 281
9.3.1 投影法 281
9.3.2 截面法 286
9.3.3 柱面坐标下的三重积分计算法 288
9.3.4 球面坐标下的三重积分计算法 290
9.4 对弧长的曲线积分（第一型曲线积分） 292
9.4.1 对孤长的平面曲线积分的计算法 292
9.4.2 对弧长的空间曲线积分 295
9.5 对面积的曲面积分的计算法 295
9.6 第二型曲线积分（对坐标的曲线积分） 299
9.6.1 第二型曲线积分的计算法 299
9.6.2 格林公式及其应用 302
9.6.3 两类曲线积分的关系 311
9.6.4 二元全微分求积问题 312
9.7 第二型曲面积分（对坐标的曲面积分） 315
9.8 高斯公式 319
9.8.1 高斯公式 319
9.8.2 两类曲面积分的联系 322
9.9 斯托克斯公式 325
9.9.1 斯托克斯公式及应用 325
9.9.2 向量场的旋度 328
习题9 329
10 无穷级数 335
10.1 判定数项级数收敛的各种方法 335
10.1.1 利用级数收敛的定义判定级数的敛散性 335
10.1.2 级数收敛的必要条件 339
10.1.3 正项级数收敛的充分必要条件 340
10.1.4 正项级数的比较判敛法 343
10.1.5 比值判敛法 346
10.1.6 正项级数的根值判敛法 347
10.1.7 任意项级数的判敛法 351
10.1.8 泰勒公式在级数判敛中的作用 357
10.2 幂级数 359
10.2.1 函数项级数的一般概念 359
10.2.2 幂级数的收敛性 360
10.2.3 特殊幂级数的求和法 366
10.3 将函数展开为幂级数 370
10.4 傅里叶级数 376
习题10 383
11.1.1 求解函数方程 388
11 微分方程 388
11.1 高等数学各单元的微分方程 388
11.1.2 导数 390
11.1.3 导数的几何物理意义 391
11.1.4 曲率公式 395
11.1.5 积分方程 397
11.1.6 定积分应用 400
11.1.7 化偏微分方程为常微分方程 401
11.1.8 二元函数全微分求积问题 404
11.1.9 级数中的微分方程 406
11.2.1 高阶、常系数、线性齐次微分方程的通解 408
11.2 微分方程的一些补充知识 408
11.2.2 一些常见类型的二阶、常系数、线性非齐次微分方程的特解y＊的求法 409
11.2.3 欧拉方程 411
11.2.4 二阶微分方程的常数变易法 412
11.2.5 二元一阶线性常系数方程组 416
习题11 422
12.1 矩阵的乘法 431
12.1.1 基本内容 431
12 矩阵的基本运算 431
第二编 线性代数 431
12.1.2 善于用矩阵乘法表示各项基本内容 432
12.2 矩阵的初等变换 440
12.2.1 基本内容 440
12.2.2 用于计算行列式的性质 442
12.2.3 求逆矩 447
12.2.4 求解矩阵方程 450
12.2.5 有关向量组的计算 454
12.2.6 解线性方程组 456
12.2.7 向量空间中的基本计算 461
13 线性代数中的几个重要概念 465
13.1 向量组的线性相关与线性无关 465
13.1.1 一个向量组间各向量的基本关系 466
13.1.2 两个向量组之间的线性关系 470
13.2 秩 474
13.2.1 有关秩的概念 474
13.2.2 有关秩的性质 475
13.3 伴随矩阵A＊的一些性质 478
13.4.1 向量的内积与两向量正交 482
13.4 正交向量组与正交矩阵 482
13.4.2 正交向量组 483
13.4.3 正交向量组与正交矩阵的性质 484
13.4.4 施密特正交化程序 485
14 矩阵的特征值与特征向量 489
14.1 矩阵的特征值与特征向量 489
14.1.1 基本概念与求法 489
14.1.2 特征值、特征向量的性质 492
14.2.1 相似矩阵的概念与性质 498
14.2 相似矩阵 498
14.2.2 矩阵与对角形相似 500
14.2.3 实对称矩阵的对角化 506
14.3 二次型 511
14.3.1 化二次型为标准形 511
14.3.2 二次型的正定性 519
习题12,13,14 526
15.1.1 随机试验与随机事件 549
15.1 基本概念 549
15 事件及其概率 549
第三编 概率论与数理统计 549
15.1.2 随机事件之间的关系与运算 550
15.1.3 事件的运算规律 551
15.2 古典概型 553
15.2.1 摸球问题 553
15.2.2 分房问题 557
15.2.3 取数问题 561
15.3 几何概型 562
16.1.1 概率公理及加法公式 566
16 概率的性质和概率公式 566
16.1 概率公式 566
16.1.2 条件概率与乘法公式 567
16.1.3 事件的独立性 567
16.1.4 全概率公式和逆概率公式 568
16.2 概率公式运用举例 568
16.3 重复独立试验与伯努利概型 576
习题15,16 579
17.1.1 分布函数F（x）的基本性质 585
17.1 随机变量的分布函数 585
17 一维随机变量 585
17.1.2 分布函数和概率计算 587
17.2 离散型随机变量 589
17.2.1 离散型随机变量的分布律（列） 589
17.2.2 常见分布 590
17.2.3 离散型随机变量函数的分布 595
17.2.4 离散型随机变量的数字特征 596
17.3 连续型随机变量 600
17.3.1 概率密度函数 600
17.3.2 常用分布 602
17.3.3 连续型随机变量的数字特征 609
17.4 连续型随机变量的函数的分布 614
18 多维随机变量 619
18.1 二维随机变量的联合分布与边缘分布 619
18.1.1 二维随机变量及其联合分布 619
18.1.2 离散型二维随机变量的分布律 620
18.1.3 二维连续型随机变量 622
18.2.1 随机变量的独立性 627
18.2.2 条件分布 627
18.2 随机变量的独立性 627
18.3 常见分布 631
18.3.1 均匀分布 631
18.3.2 二维正态分布 632
18.4 二维随机变量的数字特征 633
18.4.1 数学期望与方差 633
18.4.2 协方差和相关系数 634
18.5 二维随机变量函数的分布 638
18.5.1 二维离散型的随机变量的函数的分布 638
18.5.3 求Z＝max｛X,Y｝的分布函数（X,Y独立） 640
18.5.2 求Z＝X＋Y的概率密度 640
18.5.4 求Z＝min｛X,Y｝的分布函数（X,Y独立） 641
18.5.5 商的分布 641
18.6 大数定律与极限定理 643
18.6.1 切比雪夫不等式 643
18.6.2 大数定律 644
18.6.3 极限定理 646
习题17,18 648
19.1.1 总体、样本 658
19.1 数理统计的基本概念 658
19 数理统计初步 658
19.1.2 统计量及其分布 659
19.1.3 一个正态总体的抽样分布 665
19.2 参数估计 670
19.2.1 参数的点估计 670
19.2.2 参数的区间估计 678
19.3 假设检验 682
19.3.1 基本思想 682
19.3.2 一个正态总体的均值与方差检验 685
19.3.3 两个正态总体的均值差与方差比的检验 689
习题19 692
附录 习题解答与提示 697
习题1 697
习题2 705
习题3 712
习题4 717
习题5 724
习题6 730
习题7 749
习题8 751
习题9 759
习题10 772
习题11 783
习题12,13,14 800
习题15,16 811
习题17,18 811
习题19 815