第一章 从计算机说起 1
计算机的“绝活”是什么 1
计算机是怎样工作的 3
数学的野心 6
不当数学家 8
关于科普读物 12
第二章 数是什么 16
古代的数字 16
记数法 17
有没有更简单的记数方法 19
负数 21
度量衡与分数 22
无理数的诞生(？之谜) 23
虚数不虚 24
数系巡礼 27
实数连续性的奥秘 29
第三章 运算的规律 31
什么是运算 31
为什么-(-a)=a 32
能交换与不能交换 32
代数运算的三个级别 33
第四章 怎样才能算得快 34
两位数加减法的心算 34
两位数平方的速算 35
两位数乘法的速算 36
接近10、100、1000、10000的数的乘法速算 38
除法的速算 40
第五章 对数、算尺与算图 42
用尺子算加减法 42
尺子也能做乘除法 43
对数的发现 44
形形色色的算图 46
第六章 恒等式与方程 50
等式不一定真的相等 50
千变万化的0 51
鸡兔同笼与二元一次方程 52
用消元法解多元一次方程组 53
用二元一次方程解一元二次方程 55
卡丹公式的故事 55
两位早逝的天才——阿贝尔与伽罗瓦 58
求代数方程根的数值方法 60
地下水管的检修与方程求根 62
代数基本定理与数学王子高斯 63
贾宪三角 65
小高斯的算法 66
堆垛计算与高阶等差数列求和 67
废钢铁回收与等比数列求和 68
恒等式能举例证明吗 70
第七章 不等式与近似计算 72
近似与精确 72
不等式的妙用 73
不等式与连分数 74
连分数与闰年 78
定位 79
洗衣服与平均不等式 81
平均不等式种种 84
第八章 几个重要的数 89
圆周率π 89
复利计算与自然对数的底e 92
奇妙的黄金数——φ 95
第九章 不定方程与同余式 99
百钱买百鸡 99
元旦是星期几——同余式 100
韩信点兵与中国剩余定理 101
中国剩余定理帮了电脑的忙 103
勾股数 107
费尔玛大定理——会生金蛋的鸡 108
第十章 集合的概念与运算 112
集合——无所不在的角色 112
“白马非马”与“不能吃水果” 113
集合的并——“1+1≠2” 114
集合的交——花生米上的球面曲线 115
笛卡儿积——扑克牌与电影票 116
“屈指可数”是多少——有限集的子集 117
包含与排除的公式——容斥原理 119
补集与对偶律——盘查库存就知道消耗 120
第十一章 关系、映射与等价 122
什么是关系 122
关系和图 123
有序和无序 126
映射与分类 130
抽屉原则 131
拉姆赛理论 132
第十二章 无穷集的奥秘 134
伽利略的难题与康托尔的回答 134
希尔伯特的旅店 135
分数排队 136
实数比有理数多 137
一截线段上的点和整个空间的点一样多 138
第十三章 逻辑与推理 140
命题——不是错的，就是对的 140
只有0与1的算术和代数 141
推理的法则 143
逻辑代数与开关电路 145
第十四章 变量与函数 147
变量和常量 147
函数概念——算得出与算不出 148
长度、面积与体积 149
一个孩子怎能拉住一头牛 151
振动与波 153
正弦函数面面观 154
初等函数类 156
表示函数的方法 157
函数的脾气 158
第十五章 极限与连续性 160
无穷小之谜 160
捕捉无穷小——严格定义它 161
数列的极限 163
函数的极限 165
你为什么认识你的朋友——函数连续性 166
连续函数的介值定理 168
两块蛋糕的平分问题 169
第十六章 微分及其应用 172
飞矢不动与瞬时速度 172
切线的奥妙——一个点怎样决定直线 174
节约的数学与导数 175
求函数导数的方法 178
函数值的计算——台劳公式 180
第十七章 积分及其应用 183
面积之谜 183
抛物线下的面积 184
从割圆术到不可分量 186
定积分——用极限概念代替不可分量 188
体积的计算与祖暅原理 190
圆锥的体积 192
牛顿——莱布尼兹公式 193
求体积的万能公式——拟柱体公式 195
第十八章 直尺和圆规 199
理想化了的作图规则 199
规尺作图不可能问题之一——立方倍积 201
用蔓叶线解立方倍积问题 203
规尺作图不可能问题之二——三等分角 205
用蚌线解决三等分角问题 207
规尺作图不可能问题之三——圆代方 209
圆规直尺能干些什么 211
等分圆周与正多边形作图 213
规尺作图的限制与推广 214
单规作图 215
生锈的圆规 220
第十九章 数学推理的常用方法 231
构造法——百闻不如一见 231
反证法——以子之矛，陷子之盾 233
数学归纳法——顺藤摸瓜，由近及远 235
枚举法——尽掘七十二疑家 238
相似法——按图索骥，了如指掌 241
第二十章 形形色色的悖论 244
毕达哥拉斯悖论 244
芝诺悖论 245
伽利略悖论 245
公孙龙悖论 245
先有鸡还是先有蛋 246
贝克莱悖论 246
秃头悖论 248
说谎者悖论 249
理发师悖论 250
预言家悖论 252
理查德悖论 252
意外的考试 253
第二十一章 概率与统计 255
概率与统计 255
抛掷硬币的游戏——如何寻找概率 256
新弹坑与旧弹坑——独立事件 258
“碰运气”的骗局——随机变量与数学期望 260
为什么答案不同——条件概率 262
关于弦长的概率怪论 264
事件空间与概率的公理化定义 266
平均年龄的笑话 268
苹果的味道如何——抽样检验 270
池塘里有多少鱼 271
“中立原理”的谬误 272
概率论与情报 274
秘书问题——停止规则 275
保险数学 277
第二十二章 密码学 279
什么是密码 279
密码方案 280
破译密码 282
公钥密码 285
同余类 292
单向函数 298
RSA体制 301