第1章 绪论 1
1.1线性代数计算方法的重要性 1
1.1.1用计算机解决实际问题 1
1.1.2研究线性代数计算方法的重要性 2
1.1.3线性代数计算方法的基本内容 4
1.2误差 5
1.2.1误差基本知识 5
1.2.2误差来源 8
1.3.1数字式计算机中数的表示 10
1.3浮点运算和舍入误差 10
1.3.2计算机的浮点数系 12
1.3.3实数的计算机浮点数近似 13
1.3.4计算机浮点数的算术运算 14
1.3.5简单算术表达式的舍入误差 15
1.3.6常用误差分析方法 19
1.4问题的条件和算法的数值稳定性 22
1.4.1问题的条件 22
1.4.2算法的数值稳定性 25
1.5.1向量范数 27
1.5向量范数和矩阵范数 27
1.5.2矩阵范数 29
1.5.3矩阵的谱半径 32
1.5.4向量序列和矩阵序列及其收敛性 34
1.6Givens变换和Householder变换 36
1.6.1Givens变换 36
1.6.2镜像变换和Householder变换 40
习题 43
第2章 解线性代数方程组的直接法 47
2.1.1三角形方程组及其解法 48
2.1Gauss消元法 48
2.1.2顺序消元法 51
2.1.3主元素消元法 58
2.2矩阵的三角分解 64
2.2.1矩阵三角分解的意义和形式 64
2.2.2矩阵的Crout分解 68
2.2.3矩阵的Doolittle分解 70
2.3带状对角形方程组的解法 72
2.3.1带状对角矩阵 72
2.3.2带状对角形方程组的Gauss消元法 73
2.3.3解三对角线方程组的追赶法 75
2.4正定矩阵的Cholesky分解 78
2.4.1正定矩阵和LDLT分解 78
2.4.2正定矩阵的LLT分解 79
2.4.3正定矩阵改进的LDLT分解 82
2.5Gauss-Jordan消元法和矩阵求逆 83
2.5.1Gauss-Jordan列主元素消元法 83
2.5.2Gauss-Jordan列主元素消元法解方程组集 86
2.5.3Gauss-Jordan列主元素消元法求矩阵的逆 87
2.6.1用Gauss消元法 89
2.6行列式计算 89
2.6.2用矩阵的三角分解 90
2.7计算解的精确度问题 91
2.7.1方程组右端项误差对解的影响 92
2.7.2系数矩阵误差对解的影响 93
2.7.3计算解误差的常用估计方法 96
2.7.4解的迭代改善 98
2.8Gauss列主元素消元法舍入误差分析 100
2.8.1消元过程的舍入误差 102
2.8.2解三角形方程组的舍入误差 105
2.8.3Gauss列主元素消元法的舍入误差 108
2.9线性最小二乘法 109
2.9.1数据拟合问题 109
2.9.2超定方程组和法方程组 111
2.9.3多项式拟合 113
2.9.4Gram-Schmidt方法 116
2.9.5Householder方法 119
2.9.6极小最小二乘解 124
习题 126
3.1迭代法的一般理论 133
第3章 解线性代数方程组的迭代法 133
3.1.1一般迭代格式的构造 134
3.1.2迭代的收敛问题 136
3.1.3迭代的可对称化和块迭代 140
3.2Jacobi迭代法 143
3.2.1迭代格式 143
3.2.2迭代的收敛问题 146
3.2.3块Jacobi迭代（BJ） 150
3.3.1迭代格式 152
3.3Gauss-Seidel迭代法 152
3.3.2迭代的收敛问题 155
3.3.3块Gauss-Seidel迭代 155
3.4松弛迭代法 157
3.4.1SOR迭代格式 157
3.4.2迭代的收敛问题 159
3.4.3块松弛迭代（BSOR） 160
3.4.4对称松弛迭代（SSOR） 162
3.5.1相容次序和性质A 164
3.5最优松弛因子 164
3.5.2最优松弛因子选择 171
3.6Chebyshev加速迭代法 179
3.6.1多项式加速迭代法 179
3.6.2Chebyshev加速迭代法 180
3.7共轭梯度法 189
3.7.1线性方程组和二次函数的极小值问题 189
3.7.2最速下降法 190
3.7.3共轭方向法 192
3.7.4共轭梯度法 195
习题 198
第4章 非对称矩阵特征值问题 202
4.1矩阵特征值的基本性质 203
4.1.1圆盘定理 203
4.1.2圆盘定理的应用 209
4.1.3矩阵特征值问题的条件 212
4.2幂法 221
4.2.1基本算法 221
4.2.2幂法具体分析 222
4.2.3幂法中的原点位移加速 227
4.3反幂法 229
4.3.1基本算法 229
4.3.2带原点位移的反幂法 231
4.3.3Rayleigh商迭代法（RQI） 232
4.4矩阵收缩 238
4.4.1收缩算法 238
4.4.2计算步骤 240
4.5QR方法 243
4.5.1QR方法及其收敛性 244
4.5.2Hessenberg矩阵的QR算法 248
4.5.3带原点位移的QR算法 256
4.5.4实矩阵双重步QR算法 260
4.6广义特征值问题的QZ算法 268
4.6.1广义特征值问题 268
4.6.2广义Schur分解 270
4.6.3带原点位移的QZ算法 271
4.6.4双重步QZ算法 281
习题 286
5.1.1谱分解和极值定理 290
第5章 实对称矩阵特征值问题 290
5.1基本性质 290
5.1.2特征值的估计和摄动 292
5.2幂法和子空间迭代法 295
5.2.1幂法和反幂法 295
5.2.2子空间迭代法 299
5.3对称QR方法 305
5.3.1对称三对角化的Householder算法 305
5.3.2对称三对角线矩阵的QR算法 308
5.3.3隐位移QR算法 311
5.4.1实对称矩阵的旋转相似变换 317
5.4实对称矩阵的Jacobi方法 317
5.4.2Jacobi方法 319
5.4.3Jacobi方法的收敛性 322
5.5实对称矩阵的Givens-Householder方法 324
5.5.1对称三对角化的Givens算法 324
5.5.2计算特征值的二分法 329
5.5.3特征向量的计算 335
5.5.4次对角元素有零情况的处理 336
5.6.1矩阵奇异值及其分解定理 338
5.6奇异值分解算法 338
5.6.2双对角线矩阵的隐位移QR算法 342
5.7对称广义特征值问题 355
5.7.1化为标准对称特征值问题 355
5.7.2广义Givens-Householder方法 356
5.7.3方法的具体实现 360
习题 363
习题答案与提示 368
参考文献 400