第一章 数学与数学家 7
1．数学的概念 7
2．数学家的生活 9
3．数学家的工作与数学界 13
4．大师和学派 15
第二章 数学问题的性质 21
1．“纯粹”数学和“应用”数学 21
2．理论物理学与数学 23
3．经典时代数学的应用 24
4．功利主义的责难 29
5．时髦的说教 30
6．小结 32
第三章 经典数学的对象和方法 34
1．准数学观念的诞生 36
2．证明的思想 39
3．公理和定义 41
4．几何学——从欧几里得到希尔伯特 44
5．数和量 49
6．逼近的想法 55
7．代数学的演进 58
8．坐标方法 60
9．极限概念与微积分 67
附录 76
1．欧几里得《几何原本》第V卷中比的演算 76
2．实数系的公理式理论 77
3．多项式实根的逼近 81
4．“穷竭法”论证 83
5．初等积分学的应用 86
第四章 经典数学中的某些问题 91
1．极难问题与不结果实的问题 91
A．完满数 91
B．费马数 93
C．四色问题 94
D．初等几何学中的问题 95
A．平方和 97
2．硕果累累的问题 97
B．素数的性质 103
C．代数几何学的肇始 109
附录 110
1．形如4k-1或6k-1的素数 110
2．分解ζ(s)为欧拉积 110
3．求ax2+bxy+cy2=n的整数解的拉格朗日法 112
4．伯努利数与ζ函数 115
第五章 新的对象和新的方法 120
1．新的演算 122
A．复数 122
B．向量 126
C．函数的代数运算 130
D．排列和置换 131
E．位移和仿射变换 138
F．整数同余式的演算 139
G．二次型类的演算 140
A．合成律的主要性质 142
2．第一种结构 142
B．变换群 144
C．“抽象”群 150
D．四元数与代数 151
3．集合语言与一般结构 156
A．集合概念 156
B．集合语言 157
C．代数结构 159
（Ⅰ）群 159
（Ⅱ）环 160
（Ⅲ）域 162
（Ⅳ）非交换环和非交换域 163
D．序结构 164
E．度量空间与拓扑概念 165
F．结构的叠置和分离 167
4．同构与分类 172
A．同构 172
B．分类问题 175
C．函子和结构的发明 177
5．当代数学 180
A．数学概观 180
B．专才和通才 189
C．数学理论的演变 190
6．直觉与结构 192
附录 197
1．四次方程的解 197
2．关于群与代数方程之解的补注 198
A．对称群？n 198
B．方程的伽罗瓦群 198
C．伽罗瓦群和自同构群 200
D．正规子群和单群 201
E．立方体的旋转 203
3．关于环和域的补注 205
A．模—素数的同余式 205
B．高斯整数环Z〔i〕 207
C．模—多项式的同余式 211
D．代数函数域 213
E．关于有序域的注记 215
4．距离的例子 217
A．连续函数空间中的距离 217
B．准希尔伯特空间 221
C．希尔伯特空间 224
D．p进距离 225
A．三角级数和傅里叶系数 226
5．傅里叶级数 226
B．傅里叶级数的收敛性 229
C．伯努利多项式的傅里叶级数 234
D．康托尔问题 235
第六章 关于“数学基础”的问题和假问题 236
1．非欧几何学 237
A．平行公设 237
B．曲面上的几何学 241
C．非欧几何模型 243
A．无理数 249
2．深入挖掘数的概念 249
B．怪胎 251
C．算术的公理化 252
3．无穷集 255
A．无穷集与自然数 255
B．无穷集的比较 257
4．“悖论”及其后果 261
A．存在与构造 261
B．集合概念的变异与选择公理 262
C．悖论与形式化 265
5．数理逻辑的勃兴 267
A．逻辑的形式化 267
B．元数学 269
C．数理逻辑的凯旋 270
D．数学家的反应 274
E．数学与逻辑之间的关系 275
6．“严格证明”的概念 277
B．曲面上的曲线 280
A．挠曲线 280
附录 280
1．曲面上的几何学 280
C．庞加莱半平面 283
2．实数模型 287
A．有理数理论 287
B．戴德金模型（简述） 288
C．梅雷-康托尔模型（简述） 289
3．康托尔及其学派的一些定理 289
A．实数集不可数 289
B．基数之间的序关系 291
C．R与R2=R×R等势 292
D．子集的集合的基数 296
附录 数学家小传 297
索引 327
1．标准记号 327
2．专名索引 328
3．人名索引 335