正文篇 1
第1章 矢量分析 1
1.1矢量代数 1
1.2并矢（二阶张量）代数 4
1.3标量函数的梯度 6
1.4矢量函数的散度 10
1.5矢量函数的旋度 13
1.6标量场和矢量场的Laplace 16
1.7矢量和并矢函数的微商 19
1.8矢量场的积分定理 20
1.9一般正交曲线坐标系中梯度、散度、旋度和Laplace的表达式 26
1.10球面坐标系、圆柱面坐标系和椭圆柱坐标系 35
1.11无旋场与无散场 41
第2章Bessel函数 44
2.1引言 44
2.2 Bessel方程解与谐振动方程解的对比 46
2.3 Bessel方程的级数解法 49
2.4 Bessel函数的主要性质（Ⅰ） 53
2.5 Bessel函数的主要性质（Ⅱ） 63
2.6零阶和一阶实宗量Bessel函数J0（x），J1（x），Y0（x）和Y1（x）的计算 75
2.7 n阶实宗量Bessel函数的计算 79
第3章 变型Bessel函数 84
3.1引言 84
3.2变型Bessel函数的主要性质（Ⅰ） 85
3.3变型Bessel函数的主要性质（Ⅱ） 93
3.4零阶和一阶实宗量变型Bessel函数I0（x），I1（x），K0（x）和K1（x）的计算 100
3.5 n阶实宗量In（x）和Kn（x）的计算 102
第4章球Bessel函数、Riccati - Bessel函数和变型球Bessel函数 106
4.1球Bessel函数 106
4.2球Bessel函数的主要性质 107
4.3实宗量jn （x），yn（x），h（1）n（x）和h（2）n（x）的计算 114
4.4 Riccati-Bessel函数及其数学性质 116
4.5实宗量Riccati-Bessel函数的计算 121
4.6变型球Bessel函数 123
4.7变型球Bessel函数的主要性质 124
4.8实宗量in（x）和kn（x）的计算 129
第5章Legendre函数 131
5.1引言 131
5.2 Legendre方程的级数解法 133
5.3 Legendre函数Pn（x）的主要性质 138
5.4 Pn（x）及其零点的数值计算 146
5.5第二类Legendre 函数Qn（x）及其数学性质 147
5.6 Qn（x）数值计算 149
5.7第一类缔合Legendre 函数Pmn（x）及其数学性质 150
5.8 Pmn（x）及其导数的数值计算 153
5.9球谐函数及其数学性质 154
5.10第二类缔合Legendre函数Qmn（x）及其数学性质 159
5.11Qmn（x）数值计算 161
附录篇 163
附录Ⅰ矢量分析常用公式和场论公式的推导 163
A常用重要公式 163
1.矢量恒等式 163
2.积分定理 163
3.直角、圆柱、球面和椭圆柱坐标系中场的梯度、散度、旋度和Laplace的表示式 164
B圆球坐标系矢量场Laplace ▽2A表示式的推导 170
方法1：矢量场A Laplace ▽2A的矢量恒等式法 171
方法2：▽2A的拉氏算子▽2直接作用于矢量场A法 173
方法3：▽2A=▽·（▽A）的Laplace算子法 176
C一般柱面坐标系矢量场Laplace V2A表示式的推导 181
方法1：矢量场A Laplace V2A的矢量恒等式法 181
方法2：▽2A的拉氏算子▽2直接作用于矢量场A法 185
方法3：V2 A=▽·（▽A）的Laplace算子法 188
附录ⅡBessel函数相关函数和公式证明 202
A Γ（z）函数，ψ（z）和B（p，q）函数 202
1.Gamma函数的定义及其主要性质 202
2.ψ（z）函数的定义及其主要性质 204
3.Beta函数B（p，q）的定义及其主要性质 205
B几个公式的推导证明 206
1.n整数阶Bessel方程第二个特解Yn（z）的推导 206
2.Bessel函数大宗量渐近展开式的推导 208
3.Bessel函数Jn（z）的正交归一关系式（2.5.28）的证明 212
附录Ⅲ有关变型Bessel函数公式的推导 215
1.n整数阶第二类变型Bessel函数Kn（z）表示式（3.2.4）的推导 215
2.关系式（3.2.22）和（3.2.25）的证明 217
3.变型Bessel函数朗斯基关系式（3.3.1）和（3.3.2）的证明 218
4.变型Bessel函数大宗量渐近展开式（3.3.15）和（3.3.16）的证明 219
附录Ⅳ有关球Bessel函数公式的推导 222
1.jn （z）和yn （z）级数展开式（4.2.1）和（4.2.2）的推导 222
2.球Bessel函数的初等函数表示式的推导 224
3.负变量公式（4.7.39）和（4.7.40）的证明 227
4.变型球Bessel与球Bessel函数的关系式（4.7.43）和（4.7.44）的证明 227
附录Ⅴ有关Legendre函数公式的证明 230
1.Legendre多项式Pn（x）的递推公式（5.3.13）～（5.3.16）的证明 230
2.证明Legendre多项式Pn（x）正交归一关系式（5.3.17） 231
3.证明Pn（x）和Qn（x）的朗斯基关系式（5.5.17） 236
4.证明缔合Legendre多项式（5.7.1） 237
5.证明缔合Legendre多项式对称关系式（5.7.3）和（5.7.4） 238
6.证明Pmn（x）的特殊值（5.7.5）～（5.7.8）式 239
7.证明缔合Legendre多项式Pmn（x）递推公式（5.7.10）～（5.7.14） 242
8.证明P-mn’（x）与Pmn（x）的关系式（5.7.16） 245
9.证明缔合Legendre多项式正交关系式（5.7.17）～（5.7.20） 247
10.证明Qmn（x）特殊值（5.10.3）和（5.10.4）式 255
11.证明Pmn（x）和Qmn（x）的朗斯基关系式（5.10.13） 258
附录Ⅵ 圆柱函数和球函数典型数表 260
表1第一类Bessel 函数Jn （x） 260
表2第二类Bessel函数Yn（x） 260
表3 Bessel 函数Jn（x）和J’n（x）的零点表（按大小顺序排列） 261
表4 Jn（x）Yn（cx）一Jn（cx）Yn（x）的前5个零点 262
表5变型第一类Bessel函数In（x） 263
表6第二类变型Bessel函数Kn（x） 263
表7第一类球Bessel 函数j（x） 264
表8第一类球Bessel 函数yn（x） 264
表9球Bessel函数jn（x）（n=0，1，2，3）的零点，xm 265
表10球Bessel函数的导数j’（x）（n=0，1，2，3）的零点，x’m 265
表11第一类Riccati-Bessel函数＾J’n（x） 266
表12第二类Riccati-Bessel 函数＾Yn（x） 266
表13 Riccati-Bessel函数＾Jn（x）（n=0，1，2，3）的零点，xm 267
表14 Riccati-Bessel函数的导数＾J’n（x）（n=0，1.2，3）的零点，x’m 267
表15第一类变型球Bessel 函数in（x） 268
表16第二类变型球Bessel函数kn（x） 268
表17第一类Legendre函数Pn（x） 269
表18第二类Legendre函数Qn（x） 270
表19第一类缔合Legendre函数Pmn（x） 271
表20第一类缔合Legendre函数Pmn（x）（续） 272
表21第二类缔合Legendre函数Qmn（x） 273
表22第二类缔合Legendre函数Qmn（x）（续） 274
表23 Gauss-Legendre型积分的节点xi和权系数ωi 275
表23 Gauss-Legendre型积分的节点xi和权系数ωi（续1） 276
表23 Gauss-Legendre型积分的节点xi和权系数ωi（续2） 277
附录Ⅶ 光盘中Fortran源程序清单（文件夹VCS） 278
参考书目 279