第一章 行列式 1
一、知识背景及应用 1
1.1 知识背景 1
1.2 应用 1
1.2.1 行列式在求解线性方程组中的应用 1
1.2.2 行列式在求逆矩阵中的应用（见第二章 ） 2
1.2.3 行列式在多项式理论中的应用 2
1.2.4 行列式在高等数学中的应用 2
1.2.5 行列式在几何中的应用 3
二、知识框架 5
2.1 排列的逆序数 5
2.2 排列的性质 5
2.3 行列式 5
2.3.1 几种特殊的行列式 6
2.3.2 代数余子式 7
2.3.3 行列式的性质 7
2.3.4 重要结论 9
三、解题方法总结 12
3.1 行列式的计算 12
3.2 已知一个行列式的值，计算另一个行列式 18
3.3 讨论齐次线性方程组有非零解的问题 18
3.4 解特殊线性方程组 19
四、容易混淆的问题及常见错误 21
4.1 对行列式的项的构成和符号确定方面 21
4.2 计算行列式中某字母的系数 21
五、考研题选编 23
第二章 矩阵 27
一、知识背景及应用 27
1.1 知识背景 27
1.2 知识应用 27
1.2.1 在几何中的应用 27
1.2.2 在线性方程组中的应用 28
1.2.3 在日常生活中的应用 29
二、知识框架 31
2.1 矩阵及相等 31
2.2 运算 32
2.3 方阵的行列式 33
2.3.1 转置矩阵 34
2.3.2 对称矩阵和反对称矩阵 34
2.3.3 伴随矩阵 34
2.4 逆矩阵 35
2.5 分块矩阵 36
2.6 矩阵的特殊分块及计算 36
2.6.1 分块上（下）三角矩阵 36
2.6.2 分块对角矩阵 37
2.7 初等变换与初等矩阵 38
2.7.1 初等变换 38
2.7.2 初等矩阵 39
2.7.3 可逆矩阵与初等变换 39
2.7.4 矩阵的等价 39
三、解题方法总结 42
3.1 逆矩阵求法 42
3.2 判断矩阵等价 43
3.3 矩阵可交换的判别方法 44
3.4 证明矩阵可逆 44
3.5 求解矩阵方程 45
四、容易混淆的问题及常见错误 47
4.1 关于矩阵乘法的次序 47
4.2 忽略矩阵的乘法不满足消去律 47
4.3 计算数乘矩阵的行列式｜kA｜时出错 47
4.4 使用矩阵的乘法对加法的分配律时出错 48
4.5 忽略行列式必须行数等于列数 48
4.6 求伴随矩阵产生的错误 48
4.7 解矩阵方程时忽略乘积次序 48
五、考研题选编 51
第三章 向量组与矩阵的秩 54
一、知识背景及应用 54
1.1 知识背景 54
1.2 应用 55
1.2.1 在几何方面 55
1.2.2 在代数方面 56
二、知识框架 58
2.1 向量的线性相关性 58
2.2 向量的极大无关组与秩 58
2.3 线性表示 59
2.4 矩阵的行阶梯形 59
2.5 秩 60
三、解题方法总结 63
3.1 判断一组向量的线性相关性 63
3.2 证明一组向量线性无关 64
3.3 判断一个向量能否用其他向量表示 64
3.4 求向量组的极大无关组 65
3.5 求矩阵的秩 66
3.6 求给定向量在一组基下的坐标 66
3.7 证明两个向量组等价 67
3.8 已知A,A,A-1中两个，求另一个 67
四、容易混淆的问题及常见错误 69
4.1 对矩阵的阶梯形认识错误 69
4.1.1 在线性相关性概念及性质方面 69
4.1.2 对矩阵秩的概念理解错误 70
五、考研题选编 72
第四章 线性方程组 75
一、知识背景及应用 75
1.1 知识背景 75
1.2 知识应用 75
1.2.1 在向量线性关系中的应用 75
1.2.2 在求特征向量中的应用 76
1.2.3 在求矩阵的逆矩阵中的应用 76
二、知识框架 78
2.1 线性方程组及解 78
2.2 齐次线性方程组 80
2.3 齐次线性方程组解的性质 80
2.4 重要定理 81
三、解题方法总结 85
3.1 求解线性方程组 85
3.2 讨论待定系数取何值时齐次方程组有非零解 87
3.3 讨论待定系数取何值时非齐次方程组的解 88
3.4 证明a1,a2...as为Am×nX=0的一个基础解系 88
四、容易混淆的问题及常见错误 91
4.1 对于非齐次线性方程组的结构 91
4.1.1 解线性方程组时使用的初等变换 91
4.1.2 在方程组有解的判断方面 92
4.1.3 解方程组时选错自由未知量 92
五、考研习题选编 95
第五章 特征值与二次型 100
一、知识背景及应用 100
1.1 知识背景 100
1.2 在几何方面的应用 101
二、知识框架 103
2.1 向量的内积 103
2.2 向量的正交性 103
2.3 正交矩阵 104
2.4 方阵的特征值和特征向量 105
2.5 相似矩阵 106
2.5.1 矩阵的对角化 107
2.5.2 实对称矩阵 108
2.6 化二次型为标准型 108
2.6.1 二次型及其矩阵表示 108
2.6.2 规范型 109
2.7 正定二次型 110
三、解题方法总结 113
3.1 特征值与特征向量的求法 113
3.2 判定矩阵A与B相似的方法 113
3.3 将矩阵对角化的方法 113
3.4 由特征值和特征向量反求矩阵A：A=P∧P-1 115
3.5 方阵的幂Ak的计算 115
3.6 实对称矩阵正交相似对角化的方法 115
3.7 化二次型为标准型的方法 116
四、容易混淆的问题及常见错误 121
4.1 混淆正交矩阵与正定矩阵的性质 121
4.2 判断矩阵对角化方面 121
4.3 化二次型为标准型方面 121
4.4 正定二次型的判断方面 122
4.5 判断矩阵的合同方面 122
4.6 混淆相似与合同的性质 123
五、考研题选编 125