第一章 实数的十进表示及运算 1
1 比例数列的极限 1
1.1 比例数的本原表示 1
1.2 比例数列以及比例数列的极限 2
习题1.1 8
2 实数的十进表示的定义，比例数的十进表示 8
习题1.2 18
3 R中的算术运算及大小次序 18
习题1.3 29
4 正数的开方运算以及幂运算 29
4.1 开方运算 29
4.2 幂运算 32
4.3 幂函数和指数函数 37
习题1.4 41
5 实数列与实数集的一些性质，一些练习 41
习题1.5 51
6 非比例数比比例数多得多，基数的概念 52
习题1.6 55
第二章 函数 58
1 一元函数 58
习题2.1 61
2 再谈指数函数 62
习题2.2 69
3 n维Euclid空间Rn 69
3.1 Euclid空间 69
3.2 紧致性的概念 75
3.3 Rn中的开集的结构 80
习题2.3 82
4 多元函数 83
习题2.4 91
第三章 微分学 93
1 导数 93
1.1 方向导数、导数 93
1.2 一元情形 96
1.3 可导的充分条件及求导算律 110
1.4 高阶偏导数 114
1.5 导数的几何意义——切线和切平面 117
习题3.1 118
2 Taylor公式和Taylor展开式 121
2.1 Taylor公式 121
2.2 一元初等函数的Taylor展开 128
2.3 函数的局部极值 131
习题3.2 133
3 可微变换 134
3.1 基本概念 135
习题3.3.1 138
3.2 可微变换的复合 139
习题3.3.2 143
3.3 逆变换 144
习题3.3.3 149
4 隐变换 150
4.1 特殊情形 150
4.2 一般情形 154
习题3.4 157
5 条件极值 158
习题3.5 163
6 几何应用 163
6.1 曲线 163
6.2 曲面 167
习题3.6 170
7 原函数 171
习题3.7 177
第四章 积分学 179
1 测度 179
1.1 外测度 180
1.2 测度 185
1.3 Borel集是可测集 188
1.4 通过开集刻画可测集 189
1.5 不可测集 191
习题4.1 191
2 可测函数 194
2.1 基本概念 194
2.2 可测函数的结构 199
2.3 连续函数的延拓 202
习题4.2 205
3 积分的定义及基本理论 207
3.1 积分的定义及基本性质 207
3.2 积分号下取极限 219
3.3 把多重积分化为累次积分 224
3.4 积分的变量替换 228
习题4.3 242
4 几乎连续函数及其积分 245
习题4.4 251
5 微积分基本定理 252
5.1 基本定理 253
5.2 换元积分法 255
5.3 分部积分法 256
习题4.5 261
第五章 积分学的应用（一） 264
1 常见几何体的测度 264
习题5.1 269
2 用积分解决几何的和物理的问题的例子 271
2.1 一个体积公式 271
2.2 另一个体积公式 273
2.3 力做的功 275
2.4 功和能的联系 275
2.5 液体在竖直面上的压力 276
习题5.2 277
3 积分号下取极限的定理应用于参变积分 278
3.1 参变积分的一般性质 278
3.2 具体的例 280
3.3 广义参变积分的积分号下取极限 283
3.4 几个判断广义参变积分一致收敛的例子 292
习题5.3 296
4 一类重要的参变积分——Euler积分 298
习题5.4 305
5 可积函数用紧支撑光滑函数近似 306
习题5.5 310
第六章 积分学的应用（二）——曲线和曲面上的第一型积分 311
1 Rn的子空间中的测度 311
1.1 Rn中平行2n面体的测度 311
1.2 Rn的k（k＜n）维子空间中的平行2k面体的测度 313
习题6.1 317
2 曲线的长度及曲线的自然表示 318
2.1 简单曲线及其长度 318
2.2 简单曲线的自然表示，正则曲线 321
2.3 正则曲线的切线、主法线及曲率 323
习题6.2 326
3 曲线上的测度及积分 326
习题6.3 331
4 Rn（n≥3）中的2维曲面上的测度和积分 332
习题6.4 340
5 Rn中的k维（1≤k＜n）曲面上的测度和积分 341
习题6.5 351
第七章 积分学的应用（三）——曲线和曲面上的第二型积分 352
1 场的概念 数量场的梯度场 352
习题7.1 354
2 第二型曲线积分 354
习题7.2 362
3 沿曲线的Newton-Leibniz公式 363
习题7.3 365
4 R2中的Green公式 368
习题7.4 377
5 第二型曲面积分 378
习题7.5 388
6 Gauss公式向量场的散度 389
6.1 Gauss公式 389
6.2 Gauss公式是Green公式的推广 393
6.3 Gauss积分 398
6.4 立体角及相关的积分 400
6.5 又一个Green公式 404
6.6 向量场的散度 406
习题7.6 408
7 Stokes公式 旋度 409
7.1 R3中的Stokes公式 409
7.2 旋度 413
习题7.7 416
第八章 函数的级数展开 418
1 收敛判别法 418
习题8.1 427
2 一致收敛 428
习题8.2 435
3 求和号下取极限 436
习题8.3 442
4 幂级数与Taylor展开 443
4.1 一般性讨论 443
习题8.4.1 448
4.2 函数的Taylor展开 449
习题8.4.2 455
5 三角级数与Fourier展开 456
5.1 三角级数 457
5.2 Fourier级数 459
5.3 Fourier部分和 461
5.4 局部化原理 462
5.5 一致收敛问题 467
5.6 Fejér和 474
5.7 涉及Fourier系数的定理 477
习题8.5 483
6 （选读）用代数多项式一致逼近连续函数 487
习题8.6 493
索引 495