第一部分 多项式方程的求解与数系的扩张 3
第一章 多项式方程的求解和数系的扩张 3
1.1 从自然数到有理数 3
1.2 实数和复数 3
1.3 代数学基本定理 4
1.4 1的n次方根 5
1.5 纯方程的解 6
1.6 复数系的运算性质和法则 6
第二章 二次、三次、四次方程的求解 8
2.1 n次方程的简化 8
2.2 二次方程的求解 8
2.3 三次方程的求解 10
2.4 卡丹公式与复数 12
2.5 四次方程的求解 13
2.6 一般五次方程有公式解吗？ 15
第二部分 整数的一些基本概念、定理与理论 21
第三章 算术基本定理 21
3.1 正整数的可除定理 21
3.2 素数和合数 21
3.3 算术基本定理 22
第四章 欧几里得算法 25
4.1 最大公因子 25
4.2 欧几里得算法 25
4.3 贝祖等式 26
第三部分 数域、扩域与代数扩域的一些基本理论 31
第五章 数域的概念 31
5.1 数域的定义 31
5.2 子域和扩域 32
第六章 代数添加和扩域 33
6.1 添加与扩域 33
6.2 代数添加时的扩域结构 34
6.3 添加2个代数元的情况 35
第四部分 多项式的一些基本概念、定理与理论 39
第七章 可约和不可约多项式 39
7.1 数系上的多项式 39
7.2 多项式的可约和不可约 40
7.3 Z上和Q上的多项式的可约性问题 41
7.4 高斯引理 41
7.5 艾森斯坦不可约判据 42
第八章 多项式的整除理论 45
8.1 多项式的整除性 45
8.2 多项式的可除定理 45
8.3 剩余定理 47
第九章 多项式的最大公因式 48
9.1 公因式和最大公因式 48
9.2 多项式的欧几里得算法 48
9.3 多项式的贝祖等式 50
9.4 多项式的互素 51
9.5 多项式的唯一因式分解定理 52
第十章 多项式的导数和多项式的根 53
10.1 函数的变化率和导数 53
10.2 形式导数 54
10.3 多项式的根 55
10.4 重根问题 56
10.5 根与系数的关系 57
第十一章 实系数多项式的根 59
11.1 实系数多项式的实根和复根 59
11.2 实数序列的变号次数 59
11.3 没有重根的实系数多项式的斯图姆组 60
11.4 斯图姆定理 61
第十二章 多元多项式 64
12.1 多元多项式和字典式排列法 64
12.2 对称多项式和初等对称多项式 65
12.3 对称多项式基本定理 65
第五部分 阿贝尔引理、阿贝尔不可约定理以及一些重要的扩域 73
第十三章 阿贝尔引理与阿贝尔不可约定理 73
13.1 x2—c？ N[x]在N上可约吗？ 73
13.2 xn—c在N上的可约性问题 74
13.3 阿贝尔引理 74
13.4 不可约多项式的基本定理——阿贝尔不可约性定理 76
第十四章 单代数扩域的结构，纯扩域和复共轭封闭域 78
14.1 不可约多项式的根给出的单代数扩域 78
14.2 单代数扩域的结构定理 79
14.3 n型纯扩域 80
14.4 复共轭封闭域 81
第六部分 多项式方程的根式求解、克罗内克定理与鲁菲尼—阿贝尔定理 87
第十五章 关于F上不可约多项式在F的扩域上可约的两个定理 87
15.1 关于F上不可约多项式在F的扩域上可约的第一个定理 87
15.2 关于F上不可约多项式在F的扩域上可约的第二个定理 89
第十六章 多项式方程的根式求解 91
16.1 多项式方程根式可解的含意 91
16.2 多项式方程根式可解的精确定义和对讨论情况的一些简化 92
16.3 f（x）根式扩链的加细 93
16.4 f（x）达到可约的两种情况 95
16.5 证明“阿贝尔不可能性定理”的思路 96
16.6 f（x）可约给出的一些结果 96
16.7 多项式？（x， λv）的两个性质 97
16.8 f （x）在Em上分解为线性因式的乘积 99
16.9 f （x）的根在Em中的表示 100
16.10 对情况A的讨论 101
16.11 对情况B的讨论 102
16.12 克罗内克定理和鲁菲尼—阿贝尔定理 104
16.13 尾声 106
附录 109
附录1关于代数学基本定理的定性说明 111
附录2复数的表示及运算 113
附录3韦达用三角函数解简化的三次方程的方法 116
附录4斯图姆定理的证明 118
参考文献 122
后记 124