第1章 数学课堂教学的艺术 1
1.1 数学教师的语言艺术 1
1.1.1 准确性与精炼性 3
1.1.2 明确性和生动性 6
1.1.3 逻辑性和形象性 7
1.1.4 启发性和科学性 8
1.2 引入的创造性与艺术性 11
1.2.1 从实例看引入的创造性与艺术性 11
1.2.2 创设情境引入 14
1.2.3 先猜后证引入 14
1.2.4 类比引入 15
1.3 再谈教学中的导入 17
1.3.1 温故导课可知新 18
1.3.2 设疑导课知究竟 19
1.3.3 点拨导课知联系 20
1.3.4 先猜后证导课知因果 21
1.3.5 悬念导课可明事理 21
1.3.6 实践导课理顺思路 22
1.3.7 反驳导课逻辑性强 22
1.3.8 用悖论导课理清思路 23
1.4 设计提问的艺术 23
1.4.1 数学教学中设计提问的基本要求 24
1.4.2 数学教学中设计提问的方法 28
1.5 数学教学中如何设计提问 30
1.5.1 好的提问和坏的提问 31
1.5.2 设问时问题的选择 32
1.5.3 设问时问题的提法 33
1.6 演示、观赏与数学美 37
1.6.1 启发性 38
1.6.2 科学性 38
1.6.3 实践性 40
1.6.4 目的性 41
1.7 高中数学课堂教学如何突出重点 44
1.7.1 什么是重点 44
1.7.2 突出重点的原则 46
1.7.3 突出重点的方法 48
1.8 数学教学中如何培养学生的理解能力 52
1.8.1 观察与分析是理解的基础 53
1.8.2 抽象与概括是理解的关键 53
1.8.3 比较是理解的重要方法 54
1.8.4 学生理解知识的衡量标准 55
1.9 数学课堂教学也要充满人文气息 57
1.9.1 引入要激发学生学数学的兴趣，感知人文气息 57
1.9.2 用比喻深入浅出讲解，突出人文气息 59
1.9.3 数学思想方法的人文诠释，欣赏数学的精髓 60
1.9.4 数学公式记忆的人文气息，理解公式来源 61
1.9.5 提问引导数学思维，鉴别数学的美感 63
1.10 高中数学课堂教学中的板书 65
1.10.1 板书的作用 65
1.10.2 板书的原则 68
1.10.3 板书的方法 69
1.11 初中数学课堂教学中的板书 73
1.11.1 板书的作用 73
1.11.2 板书的原则 75
1.11.3 板书的方法 76
1.12 数学教学中的比喻 79
1.12.1 数学教学中比喻的作用 79
1.12.2 数学教学中打比喻的三性原则：启发性、趣味性、科学性 79
1.12.3 比喻的分类：明喻、借喻、暗喻 79
1.12.4 数学教学中的比喻 80
思考题 82
第2章 课堂教学中的审美教育与数学美 84
2.1 数学解题教学与数学美 85
2.1.1 解题的和谐美是解题者苦苦追求的结果 85
2.1.2 解题的思维美是解题者思维加工的结果 86
2.1.3 解题的方法美是解题者联想的结果 88
2.1.4 解（证）题的教学美是教学法加工的结果 89
2.2 从一道高考试题的开放性教学看数学美 90
2.2.1 从一道高考试题的解答看思维美 90
2.2.2 对称美是观察与联想的结果 91
2.2.3 方法美是类比联想的结果 92
2.2.4 教学美是教学法加工的结果 93
2.3 数学教学中审美能力的培养 94
2.3.1 审美感受能力的培养 95
2.3.2 审美鉴赏能力的培养 96
2.3.3 审美想象能力的培养 97
2.3.4 审美创造能力的培养 98
2.4 初中数学竞赛题的解题策略与审美欣赏 99
2.4.1 灵活运用倒序法，掌握化归策略，品赏简洁美 100
2.4.2 巧妙观察图形，运用特殊化与普遍化策略，鉴别对称美 100
2.4.3 全面领会知识，实施顺推与逆推策略，感知奇异美 101
2.4.4 既分解又组合，恰当用局部与整体策略，探索思维美 102
2.4.5 广泛发挥想象，识别类比与联想策略，欣赏和谐美 103
2.5 初中数学解题的构造性策略与数学美 105
2.5.1 构造方程解题，理解思维美 105
2.5.2 构造方程组的一元二次方程解题，发现奇异美 106
2.5.3 构造函数证题，感知方法美 107
2.5.4 构造图形解题，观察对称美 108
2.5.5 构造公式解题，欣赏和谐美 108
2.5.6 构造反例，设计教学美 109
思考题 109
第3章 形式逻辑在数学教学中的应用 111
3.1 高中概念教学的“五要五不要” 111
3.1.1 要讲清概念的内涵与外延，不要混淆概念 112
3.1.2 要讲清概念的性质意义与判定意义，不要将它们混为一谈 114
3.1.3 要讲清概念的发生过程，不要死记概念的定义 114
3.1.4 要注意数形结合地理解概念，不要把数与形割裂开来 115
3.1.5 要多通过比较来识别容易混淆的概念，不要把它们割裂开来 115
3.2 数学教学中必须遵循的思维规律 117
3.2.1 运用同一律，不准偷换概念 117
3.2.2 认识矛盾律，防止判断自相矛盾 118
3.2.3 应用排中律，深刻理解反证法 119
3.2.4 论据要确定，正确使用充足理由律 121
3.3 神奇的类比透彻的理解 122
3.3.1 长方体与矩形中两个三角公式的类比 123
3.3.2 长方体与矩形中二等分体积与两等分面积都具无限性的类比 123
3.3.3 直三面角被截成棱长相等正棱锥的体积问题 124
3.3.4 平面四边形与空间四边形的有关性质的类比 125
3.3.5 空间中两个数学题的类比 126
3.3.6 数形类比 127
3.4 辅助线引法的类比激活策略 129
3.4.1 降低难度的类比 129
3.4.2 结构类比 131
3.4.3 横向类比 132
3.5 巧用“三点定形法”，寻找乘积式的证题思路 135
3.5.1 什么是“三点定形法” 135
3.5.2 “横挑鼻子竖挑眼” 136
3.5.3 代换寻找“三点定形法” 136
3.6 类比发现与想象力 138
3.6.1 从一道课本习题想起的两个类比题 138
3.6.2 类比发现两个面积题（平面到平面的类比） 139
3.6.3 平面到空间的类比 141
3.7 一道课本习题的多种证明方法 142
3.8 初中数学教与学中的反驳 145
3.8.1 反驳论据 146
3.8.2 反驳论证 147
3.8.3 反驳论题 148
思考题 149
第4章 课堂中的解题教学 151
4.1 数学解题的“以退求进”策略 151
4.1.1 从一般退到特殊 152
4.1.2 从抽象退到具体 152
4.1.3 从复杂退到简单 153
4.1.4 从陌生退到熟悉 154
4.1.5 从整体退到局部 154
4.2 高中数学解题的隐含条件的挖掘 156
4.2.1 仔细分析已知条件，从类比中挖掘隐含条件 157
4.2.2 严谨地审视求证的结论，从推理中挖掘隐含条件 158
4.2.3 严格查看定义与性质，从概念中挖掘隐含条件 159
4.2.4 联想中审视已知条件，从联系中挖掘隐含条件 160
4.2.5 明确函数的定义域和值域，从推理中挖掘隐含条件 161
4.2.6 类比联想数量关系，从认知动因与方法中挖掘隐含条件 161
4.2.7 联系观察几何图形，从数形结合中挖掘隐含条件 162
4.3 先猜后证的数学思想在高中教学中的应用 163
4.3.1 函数表达式中的先猜后证 163
4.3.2 数列的先猜后证 165
4.3.3 函数极值的先猜后证 165
4.3.4 数学规律的先猜后证 166
4.3.5 数学归纳法中的先猜后证 168
4.4 一个重要公式的证明及其广泛应用 168
4.4.1 判定三角形的面积大小 169
4.4.2 判定三角形的形状 170
4.4.3 证明不等式 171
4.4.4 变更条件，使隐含条件明朗化 172
4.5 高中数学教学中的设计题组——兼论不等式的证明 173
4.5.1 知识在储备库里的记忆及错误题组，读者指错 174
4.5.2 由浅入深的递进式题组 175
4.5.3 类比探究式题组 177
4.5.4 变式拓展式题组 178
4.5.5 联想扩散式题组 178
4.5.6 先猜后证式题组 179
4.6 均值不等式求最值的五个误区 181
4.6.1 误“等”是忽视均值不等式取等号的条件 181
4.6.2 误“定”是忽视其定值条件 182
4.6.3 误“拆”是忽视拆项过程中，既不能满足定值的条件，又不能满足等号取到的条件 182
4.6.4 误“正”是忽视其使用前提条件，各项为正数 183
4.6.5 误“传”是指两次以上使用均值不等式时，误将等号传递 183
思考题 185
第5章 数学教学、学习方法与数学观 186
5.1 数学的教学、学习方法与数学观 187
5.1.1 数学的学习方法的重要性 187
5.1.2 数学的学习方法 187
5.1.3 数学的学习方法要以智力结构为目标 191
5.2 教学生分析困难 193
5.2.1 理解性的困难 193
5.2.2 构造性的困难 197
5.2.3 运算性的困难 198
5.2.4 判断性的困难 200
5.3 启发数学思维的艺术 200
5.3.1 什么是启发思维的艺术 200
5.3.2 在数学开放题中训练学生的创造性数学思维 202
5.3.3 启发数学思维艺术的基本要求 205
5.3.4 启发数学思维艺术的方法 210
5.4 朱世杰恒等式及其应用 214
5.4.1 用朱世杰恒等式求数列的和 215
5.4.2 用朱世杰恒等式求偶数列（奇数列）的幂之和 216
5.4.3 用朱世杰恒等式解高考题 217
5.4.4 用证明朱世杰恒等式的类似方法证明全国统编教材的习题 218
思考题 220