上册 1
引言 1
1.定解问题的引出 2
1.1.热传导方程及其定解条件 2
1.1.1.热传导方程的引出 2
1.1.2.定解条件的提法 5
习题1.1 7
1.2.位势方程及其定解条件 8
习题1.2 9
1.3.弦的微小横振动方程及其定解条件 9
1.3.1.弦振动方程的引出 9
1.3.2.定解条件 12
习题1.3 15
1.4.适定性概念 15
1.4.1.基本定义 15
1.4.2.定解问题小结 17
1.4.3.定解问题的适定性概念 18
习题1.4 21
附录 数学物理的变分原理 21
1.5.变分问题 21
1.5.1.单重积分情形 21
1.5.2.多重积分情形 26
1.5.3变分原理 29
习题1.5 31
1.6.波动方程和位势方程 31
1.6.1.均匀弦的横振动 31
1.6.2.均匀膜的横振动 33
1.6.3.膜的平衡方程 34
习题1.6 36
1.7.扩散方程和Schrodinger方程 36
1.7.1.扩散方程 36
1.7.2.Schrodinger方程 37
习题1.7 38
注释与文献 38
2.波动方程 40
2.1.有界弦的振动 40
2.1.1.分离变量法 40
2.1.2.解的物理意义 45
2.1.3.均匀弦的受迫振动 47
2.1.4.边值条件的齐次化 48
2.1.5.控制消振问题 52
习题2.1 58
2.2.有界膜的振动 58
2.2.1.矩形膜的横振动 58
2.2.2.圆膜的横振动 61
习题2.2 64
2.3.波动方程的初值问题 64
2.3.1.弦振动方程情形，行波法 64
2.3.2.依赖域，影响域和决定域 68
2.3.3.三维波动方程情形 70
2.3.4.降维法 74
2.3.5.非齐次方程情形 77
2.3.6.Huygens原理 82
习题2.3 84
2.4.能量积分，唯一性及稳定性定理 86
2.4.1.能量积分 86
2.4.2.混合问题情形 88
2.4.3.初值问题情形 93
习题2.4 97
附录 98
2.5.Bessel函数 98
2.5.1.Bessel方程及其解 98
2.5.2.递推公式 101
2.5.3.Bessel函数的正交性 102
2.5.4.Bessel函数的零点分布 105
习题2.5 107
注释与文献 108
3.位势方程 109
3.1.特殊区域的边值问题 109
3.1.1.视察法 109
3.1.2.复变函数法 114
习题3.1 118
3.2.Green公式及其推论 120
3.2.1.Green公式 120
3.2.2.极值原理 122
3.2.3.第一边值问题的唯一性和稳定性 126
习题3.2 129
3.3.Green函数 131
3.3.1.Green函数及其性质 131
3.3.2.静电源像法 134
3.3.3.调和函数的基本性质 141
习题3.3 146
3.4.第二边值问题解的唯一性 147
3.4.1.强极值原理 147
3.4.2.第二边值问题解的唯一性 150
习题3.4 152
注释与文献 153
4.热传导方程 154
4.1.分离变量法的进一步应用 154
4.1.1.热传导方程的混合问题 154
4.1.2. Schrodinger方程 157
习题4.1 160
4.2.初值问题 161
4.2.1.Fourier变换及其性质 161
4.2.2.初值问题的解及其验证 167
4.2.3.半导体材料中的扩散问题 171
习题4.2 175
4.3.定解问题解的唯一性和稳定性 176
4.3.1.极值原理 176
4.3.2.初值问题情形 180
习题4.3 181
附录 183
4.4.Fourier变换表 183
注释与文献 187
5.方程的分类和总结 188
5.1.方程的化简和分类 188
5.1.1.两个自变量的二阶方程的化简及分类 188
5.1.2.多个自变量的二阶方程的分类 197
习题5.1 201
5.2.特征概念 202
5.2.1.特征方程 202
5.2.2.例 206
习题5.2 208
5.3.典型方程总结 209
5.3.1.数学物理方程的特点 209
5.3.2.典型方程的共性 210
5.3.3.典型方程的个性 211
5.3.4.适定性问题讨论 213
习题5.3 217
注释与文献 218