第1篇 微积分 2
1.1 函数 2
1.1.1 求几类函数的表达式 2
题型1.1.1.1 已知函数，求其反函数的表达式 2
题型1.1.1.2 求与复合函数有关的函数表达式 2
1.1.2 奇、偶函数的判别及其性质的应用 4
题型1.1.2.1 判别经四则运算后的函数的奇偶性 4
题型1.1.2.2 判别自变量带相反符号的两同名函数的代数和的奇偶性 4
题型1.1.2.3 判别复合函数的奇偶性 4
题型1.1.2.4 判别原函数F（x）=∫ x 0 f（t）dt的奇偶性 5
题型1.1.2.5 判别函数（a k x ±1）／（a k x ? 1）的奇偶性（a＞0，a≠1，k≠0） 5
题型1.1.2.6 奇、偶函数的几个性质的应用 5
1.1.3 函数有界性的判定 6
题型1.1.3.1 判定在有限开区间内连续函数的有界性 6
题型1.1.3.2 判定在无穷区间内连续函数的有界性 7
题型1.1.3.3 判定分段连续函数的有界性 7
1.1.4 讨论函数的周期性 8
1.2 极限、连续 10
1.2.1 极限的概念与基本性质 10
题型1.2.1.1 正确理解极限定义中的“ε、N”，“ε、δ，“ε、X”语言的含义 10
题型1.2.1.2 正确区别无穷大量与无界变量 10
题型1.2.1.3 正确运用极限的保序性、保号性 12
题型1.2.1.4 运用极限的四则运算法则或夹逼准则判别极限的存在性 12
1.2.2 求未定式极限 13
题型1.2.2.1 求0／0或∞／型极限 13
题型1.2.2.2 求0·∞型极限 16
题型1.2.2.3 求∞-∞型极限 17
题型1.2.2.4 求幂指函数型（0 0型、∞ 0型、1 ∞型）极限 17
1.2.3 求数列极限 20
题型1.2.3.1 求无穷多项和的极限 20
题型1.2.3.2 求由递推关系式给出的数列极限 23
1.2.4 求几类子函数形式特殊的函数极限 24
题型1.2.4.1 求需先考察左、右极限的函数极限 24
题型1.2.4.2 求含1/x的函数极限 26
题型1.2.4.3 求含根式差的函数极限 26
题型1.2.4.4 求含指数函数差的函数极限 27
题型1.2.4.5 求含幂指函数的函数极限 27
题型1.2.4.6 求含lnf（x）的函数极限，其中lim f x→□（x）=1 28
题型1.2.4.7 求含有界变量为因子的函数极限 28
题型1.2.4.8 求含参变量x的函数极限lim？ n→∞（x,n） 29
1.2.5 已知含未知函数的极限，求与该函数有关的极限 31
1.2.6 求极限式中的待定常数 32
题型1.2.6.1 求有理函数极限式中的待定常数 32
题型1.2.6.2 确定分式函数极限式中的待定常数 33
题型1.2.6.3 求∞±∞型的根式极限式中的待定常数 34
题型1.2.6.4 求含变项积分的极限式中的待定常数 35
1.2.7 比较和确定无穷小量的阶 35
题型1.2.7.1 比较无穷小量的阶 36
题型1.2.7.2 确定无穷小量为几阶无穷小量 37
题型1.2.7.3 利用无穷小量阶的比较求待定常数 38
1.2.8 讨论函数的连续性及间断点的类型 39
题型1.2.8.1 判别初等函数的连续性 39
题型1.2.8.2 讨论分段函数的连续性 40
题型1.2.8.3 讨论含参变量的极限式所定义的函数的连续性 41
题型1.2.8.4 判别函数间断点的类型 42
1.2.9 连续函数性质的两点应用 43
题型1.2.9.1 利用连续函数性质证明中值等式命题 43
题型1.2.9.2 证明方程实根的存在性 44
1.2.10 极限在经济活动分析中的应用 45
题型1.2.1 0.1 计算连续复利 45
题型1.2.1 0.2 求解贴现问题 46
1.3 一元函数微分学 48
1.3.1 导数定义的三点应用 48
题型1.3.1.1 讨论函数在某点的可导性 48
题型1.3.1.2 利用导数定义求某些函数的极限 51
题型1.3.1.3 利用导数定义求函数表达式 53
1.3.2 讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性 53
题型1.3.2.1 讨论分段函数的可导性 53
题型1.3.2.2 讨论分段函数的导函数的连续性 54
题型1.3.2.3 讨论一类特殊分段函数在其分段点的连续性、可导性及其导函数的连续性 55
1.3.3 讨论含绝对值的函数的可导性 56
题型1.3.3.1 讨论绝对值函数|f（x）|的可导性 56
题型1.3.3.2 讨论f（x）=|？（x）|g（x）的可导性 56
1.3.4 求一元函数的导数和微分 57
题型1.3.4.1 求复合函数的一阶导数与二阶导数 57
题型1.3.4.2 求反函数的导数 58
题型1.3.4.3 求由一个方程所确定的隐函数的导数 59
题型1.3.4.4 求分段函数的一阶、二阶导数 61
题型1.3.4.5 求带绝对值的函数的导数 61
题型1.3.4.6 求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数 61
题型1.3.4.7 求由参数方程所确定的函数的导数 62
题型1.3.4.8 求某些简单函数的高阶导数 63
题型1.3.4.9 求一元函数的微分 65
1.3.5 利用函数的连续性、可导性确定其待定常数 67
题型1.3.5.1 利用函数的连续性确定其待定常数 67
题型1.3.5.2 根据函数的可导性确定待定常数 68
1.3.6 利用微分中值定理的条件及其结论解题 69
1.3.7 利用罗尔定理证明中值等式 70
题型1.3.7.1 证明存在ξ ∈ （a,b），使cf′（ξ）=bg′（ξ），其中c，b为常数 70
题型1.3.7.2 证明存在ξ ∈ （a，b），使f（ξ）g′（ξ）＋f′（ξ）g（ξ）=0 71
题型1.3.7.3 证明存在ξ ∈ （a，b），使f′（ξ）g（ξ）-f（ξ）g′（ξ）=0（g（ξ）≠0） 72
题型1.3.7.4 证明存在ξ ∈ （a，b），使f′（ξ）＋g′（ξ）f（ξ）=0 72
题型1.3.7.5 证明存在ξ ∈ （a，b），使f′（ξ）＋g′（ξ）[f（ξ）-bξ]=b 73
题型1.3.7.6 已知函数在多点处的取值情况，证明有关的中值等式 74
题型1.3.7.7 证明存在ξ∈（a，b），使nf（ξ）＋ξf′（ξ）=0（n为正整数） 74
题型1.3.7.8 利用定积分等式或变限定积分证明中值等式 75
题型1.3.7.9 证明存在ξ ∈ （a，b），使F（k）（ξ）=0（k≥2） 77
1.3.8 拉格朗日中值定理的几点应用 77
题型1.3.8.1 证明与函数差值有关的中值命题 78
题型1.3.8.2 证明函数与其导数的关系 79
题型1.3.8.3 证明含或可化为函数差值的不等式 81
题型1.3.8.4 求中值的（极限）位置 81
1.3.9 利用柯西定理证明中值等式 82
题型1.3.9.1 证明两函数差值之比的中值等式 82
题型1.3.9.2 证明两函数导数之比的中值等式 83
1.3.10 证明多个中值所满足的中值等式 84
1.3.11 利用导数讨论函数性态 86
题型1.3.11.1 证明函数在区间I上是一个常数 86
题型1.3.11.2 证明（判别）函数的单调性 87
题型1.3.11.3 利用极限式讨论函数是否取得极值 88
题型1.3.11.4 利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点 89
题型1.3.11.5 利用导数（值）的不等式，讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点 90
题型1.3.11.6 求函数的单调区间、极值、最值 90
题型1.3.11.7 求曲线凹凸区间与拐点 92
题型1.3.11.8 求曲线的渐近线 94
题型1.3.11.9 利用函数性态作函数图形 96
题型1.3.11.1 0已知函数的图形，确定其函数或其导函数性质 97
题型1.3.11.1 1利用导函数的图形，确定原来函数的性态 98
1.3.12 利用函数性态，讨论方程的根 98
题型1.3.12.1 讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数 98
题型1.3.12.2 讨论含参数的方程实根的个数及其所在区间 99
1.3.13 利用导数证明不等式 99
题型1.3.13.1 已知F（a）≥0（或F（b）≥0），证明x＞a（或x＜b）时F（x）＞0 100
题型1.3.13.2 证明含常数加项的不等式 101
题型1.3.13.3 利用函数导数值的大小比较函数值的大小 103
题型1.3.13.4 证明含两个变量（常数）的函数（数值）不等式 103
1.3.14 一元函数微分学的几何应用 104
题型1.3.14.1 求平面曲线的切线方程和法线方程 104
题型1.3.14.2 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题 105
题型1.3.14.3 求解与两曲线相切的有关问题 106
1.3.15 导数在经济活动分析中的应用 107
题型1.3.15.1 计算弹性 108
题型1.3.15.2 计算边际函数 109
题型1.3.15.3 求解与边际和弹性有关的应用题 109
题型1.3.15.4 求解经济应用中一元函数的最值问题 111
1.4 一元函数积分学 113
1.4.1 原函数的判定及其求法 113
题型1.4.1.1 函数存在原函数的条件 113
题型1.4.1.2 原函数的判定 114
题型1.4.1.3 求分段函数的原函数 114
题型1.4.1.4 利用积分运算与微分运算的互逆关系求解与原函数的有关问题 115
题型1.4.1.5 已知函数的原函数，求该函数或与该函数有关的不定积分 116
1.4.2 计算不定积分 116
题型1.4.2.1 计算f（x）g（x）dx 116
题型1.4.2.2 计算简单无理函数的不定积分 117
题型1.4.2.3 求∫ 1／（ax＋b）k f[1／（ax＋b）k-1]dx，其中k≠1为正实数 119
题型1.4.2.4 求∫ f（x）／gx dx 120
题型1.4.2.5 求被积函数的分母为相差常数的两函数乘积的积分 122
题型1.4.2.6 求被积函数含反三角函数为因子函数的积分 122
1.4.3 利用定积分性质计算定积分 123
题型1.4.3.1 利用其几何意义计算定积分 123
题型1.4.3.2 计算对称区间上的定积分 124
题型1.4.3.3 计算周期函数的定积分 125
题型1.4.3.4 利用定积分的常用计算公式求其值 125
题型1.4.3.5 计算被积函数含函数导数的积分 126
题型1.4.3.6 比较和估计定积分的大小 127
题型1.4.3.7 求解含积分值为常数的函数方程 128
题型1.4.3.8 计算几类需要分子区间积分的定积分 129
题型1.4.3.9 计算含参数的定积分 130
题型1.4.3.10 求需换元计算的定积分 131
题型1.4.3.11 求连续函数的定积分的极限 132
1.4.4 求解与变限积分有关的问题 133
题型1.4.4.1 求含变限积分的未定式极限 133
题型1.4.4.2 求变限积分的导数 135
题型1.4.4.3 求变限积分的定积分 136
题型1.4.4.4 计算分段函数的变限积分 137
题型1.4.4.5 讨论变限积分函数的性态 137
1.4.5 证明定积分等式 138
题型1.4.5.1 证明定积分的变换公式 138
题型1.4.5.2 证明定积分中值等式 140
1.4.6 定积分不等式的常用证法 141
14.7 计算反常积分 145
题型1.4.7.1 计算无穷区间上的反常积分 145
题型1.4.7.2 判别∫ ＋∞ a dx／xp与∫ ＋∞ a dx／x（1nx）p（a＞）∫p （a＞0）的敛散性 148
题型1.4.7.3 计算无界函数的反常积分 148
题型1.4.7.4 判别∫ b a dx／（b－x）与∫ b a dx／（x－a）p的敛散性 150
题型1.4.7.5 判别混合型反常积分的敛散性，如收敛计算其值 150
1.4.8 定积分的应用 151
题型1.4.8.1 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积 151
题型1.4.8.2 求旋转体体积 152
题型1.4.8.3 求解几何应用与最值问题相结合的应用题 155
题型1.4.8.4 已知曲线所围平面图形的面积（或其旋转体体积）反求该曲线 157
题型1.4.8.5 求函数在区间上的平均值 157
题型1.4.8.6 由变化率求原经济函数或其变化值 158
题型1.4.8.7 由边际函数求（最优）总函数 158
1.5 多元函数微积分学 160
1.5.1 二（多）元函数微分学中的几个概念 160
题型1.5.1.1 判别二元函数的极限、连续、可偏导及可微之间的相互关系 161
题型1.5.1.2 用定义判别二元函数在某点是否可微 162
1.5.2 计算偏导数与全微分 163
题型1.5.2.1 计算显函数的偏导数 163
题型1.5.2.2 求带抽象函数记号的复合函数偏导数 164
题型1.5.2.3 计算由一个方程确定的隐函数的（偏）导数 168
题型1.5.2.4 求由方程组确定的隐函数的（偏）导数 168
题型1.5.2.5 变换含一阶、二阶偏导数的表达式 170
题型1.5.2.6 求二元函数的全微分 170
1.5.3 多元函数微分学的应用 171
题型1.5.3.1 求二元函数的极值和最值 171
题型1.5.3.2 求二（多）元函数的条件极值 173
1.5.4 用直角坐标系计算二重积分 175
题型1.5.4.1 根据积分区域选择积分次序计算二重积分 175
题型1.5.4.2 根据被积函数选择积分次序计算二重积分 176
题型1.5.4.3 证明二次积分等于单积分 178
题型1.5.4.4 利用对称性简化计算二重积分 178
题型1.5.4.5 分块计算二重积分 181
题型1.5.4.6 计算无界区域上较简单的二重积分 183
1.5.5 用极坐标系计算二重积分 185
题型1.5.5.1 计算圆域x2 ＋y2≤a（a＞0）上的二重积分 185
题型1.5.5.2 计算圆域x2 ＋y2≤2ax（a＞0）上的二重积分 186
题型1.5.5.3 计算圆域x2 ＋y2≤-2ax（a＞0）上的二重积分 186
题型1.5.5.4 计算圆域x2 ＋y2≤2by（b＞0）上的二重积分 187
题型1.5.5.5 计算圆域x2 ＋y2≤-2by（b＞0）上的二重积分 188
题型1.5.5.6 计算圆域x2＋y2≤2ax＋2by＋c上的二重积分 188
1.5.6 交换二次积分次序与转换二次积分 190
题型1.5.6.1 交换二（累）次积分的积分次序 190
题型1.5.6.2 转换二次积分 191
1.5.7 求含二重积分的极限 192
1.6 无穷级数 193
1.6.1 判别常数项级数的敛散性 193
题型1.6.1.1 判别正项级数的敛散性 193
题型1.6.1.2 判别交错级数的敛散性 197
题型1.6.1.3 判别任意项级数的敛散性 199
1.6.2 求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域 204
1.6.3 求级数的和函数 207
题型1.6.3.1 求∞∑n=1 P（n）xn的和函数，其中P（n）为n的多项式 207
题型1.6.3.2 求∞∑n=0 1／Q（n）xn的和函数，其中Q（n）为n的多项式 208
题型1.6.3.3 求其系数分母为连乘积的幂级数的和函数 210
题型1.6.3.4 求数项级数的和 212
1.6.4 初等函数展为幂级数与简单幂级数求和 213
题型1.6.4.1 初等函数f （x）展为幂级数 213
题型1.6.4.2 求函数f（x）的n阶导数f（n）（x0） 216
1.7 常微分方程与差分方程 217
1.7.1 求解一阶线性微分方程 217
题型1.7.1.1 求解变量可分离的微分方程 217
题型1.7.1.2 求解齐次微分方程 217
题型1.7.1.3 求解一阶线性微分方程 218
题型1.7.1.4 求解以x为因变量，y为自变量的一阶微分方程 220
题型1.7.1.5 求以分段函数为非齐次项或系数的一阶微分方程的连续解 220
题型1.7.1.6 求解可化为一阶微分方程的函数方程 221
1.7.2 求解二阶常系数线性微分方程 222
题型1.7.2.1 求解二阶常系数齐次线性微分方程 223
题型1.7.2.2 求解二阶常系数非齐次线性微分方程 224
题型1.7.2.3 变换已知的函数方程或微分方程为新的形式，并求其解 225
题型1.7.2.4 已知线性微分方程，求具有某性质的特解 227
1.7.3 已知特解，反求其二阶线性常系数方程 228
题型1.7.3.1 已知特解，反求其二阶齐次方程 228
题型1.7.3.2 已知特解，反求其二阶非齐次方程 229
1.7.4 微分方程的简单应用 229
题型1.7.4.1 求解与几何量有关的问题 229
题型1.7.4.2 求解简单的经济应用题 230
1.7.5 一阶常系数线性差分方程 231
题型1.7.5.1 求解一阶常系数线性齐次差分方程 232
题型1.7.5.2 求解一阶非齐次差分方程 232