第零章 绪论——数论中的美学 1
第一章 常数的魅力——初等数论 8
1.1 初等数论中的美学综述 8
1.1.1 序言 8
1.1.2 自然数中的美学世界 9
1.1.3 亲和数（相亲数） 10
1.1.4 自然数中的神奇关系 11
1.1.5 史上最神奇的数字 13
1.1.6 幻方（魔方） 14
1.2 古典美与现代美的统一——圆周率π 17
1.2.1 序言 17
1.2.2 π的奇妙 23
1.2.3 圆周率π在古代的发展 24
1.2.4 圆周率π的计算历程 28
1.2.5 圆周率π与其他数学分支以及物理学的紧密联系 31
1.2.6 圆周率π在当代 32
1.3 自然美的诠释——自然底数e（初等数论篇） 34
1.3.1 序言 34
1.3.2 e的历史与欧洲历史上的“2＞3悖论” 36
1.3.3 欧拉恒等式再现 37
1.3.4 “三朵金花”姐妹情深 38
1.3.5 自然底数e的“自然” 39
1.3.6 e与生活 40
1.4 美学的真谛——黄金分割比？ 45
1.4.1 序言 45
1.4.2 斐波那契数列 47
1.4.3 黄金分割比杂谈 54
1.4.4 黄金分割比与生活 57
1.4.5 黄金分割哲学 60
第二章 从素数谈起——解析数论 62
2.1 解析数论中的美学综述 62
2.1.1 序言 62
2.1.2 解析数论初谈 63
2.1.3 解析数论的起源 64
2.1.4 跨越界限的美 67
2.1.5 素数初步 69
2.2 在碰撞中绽放的思维火花——调和级数 73
2.2.1 序言 73
2.2.2 调和级数的曼妙 74
2.2.3 百花齐放：发散性证明 77
2.2.4 调和级数的奇异美 82
2.2.5 调和级数延伸 84
2.2.6 调和级数的发散率与部分和 85
2.3 天地有大美——素数分布 87
2.3.1 序言 87
2.3.2 素数分布的特点 91
2.3.3 梅森素数分布的进一步猜想 93
2.3.4 由孪生素数向n生素数的推广猜想 94
2.3.5 与素数定理的邂逅 95
2.3.6 传世的证明成就素数之美 97
2.3.7 素数分布有大美 99
2.4 混沌初开——欧拉-马歇罗尼常数γ 101
2.4.1 序言 101
2.4.2 混沌中的希望 102
2.4.3 殊途同归显真美 105
2.4.4 欧拉-马歇罗尼常数性质探讨 108
2.4.5 欧拉-马歇罗尼常数与素数同在 110
2.5 自然美的诠释——自然底数e（解析数论篇） 111
2.5.1 序言 111
2.5.2 对数积分与指数积分 112
2.5.3 欧拉与e 114
2.5.4 极限分析中的e 116
2.5.5 e与解析数论的深层关系 117
2.5.6 淡妆浓抹总相宜 119
第三章 历史的踪迹——代数数论 122
3.1 深远的过往——古典代数数论 122
3.1.1 序言 122
3.1.2 历史的错乱 123
3.1.3 古代数论 124
3.1.4 典型数论 127
3.2 破壳而出——经典代数数论 130
3.2.1 序言 130
3.2.2 中时期的力量 133
3.2.3 《代数整数论》 134
3.2.4 跨越世纪的“总结” 136
第四章 奇异产生美——超越数论 138
4.1 超越数论中的美学综述 138
4.1.1 序言 138
4.1.2 ？的无理性 139
4.1.3 数π 141
4.1.4 超越数 142
4.1.5 代数数的逼近 143
4.1.6 超越性问题及数论的其他分支 144
4.1.7 超越数论的基本问题 145
4.1.8 给出数的不同方法 148
4.1.9 方法 149
4.2 惊起一滩鸥鹭——连分数 151
4.2.1 序言 151
4.2.2 前面遗留的问题（连分数） 153
4.2.3 连分数的性质杂谈 159
4.2.4 清朝数学家与连分数 160
4.2.5 连分数在天文方面的应用 162
4.2.6 连分数杂谈 165
4.3 经典的再现——超越性问题 168
4.3.1 序言 168
4.3.2 e的超越性问题 169
4.3.3 π的超越性问题 173
4.3.4 Ω常数 175
4.3.5 超越性问题杂谈 177
4.4 历史的玩笑——希尔伯特第七问题 178
4.4.1 序言 178
4.4.2 预备引理 180
4.4.3 格尔丰德证法 181
4.4.4 施耐德证法 184
4.4.5 定理的证明，历史的沉淀 187
4.4.6 施耐德第八问题 188
4.5 混沌美的体现——超越数论中的零碎问题 190
4.5.1 序言 190
4.5.2 连分数的有理逼近 191
4.5.3 代数数的有理逼近 192
4.5.3.1 代数数以及多项式的参数 192
4.5.3.2 问题的描述 193
4.5.3.3 有理逼近 194
4.5.3.4 补充的连分数逼近 195
4.5.3.5 二次无理性 196
4.5.3.6 刘维尔定理 197
4.5.3.7 刘维尔定理的推广 199
4.5.4 数e的有理逼近 199
4.5.5 林德曼-魏尔斯特拉斯定理 201
4.5.6 沙努尔猜想 203
第五章 百花齐放谈数论 205
5.1 从费马谈算数代数几何 205
5.1.1 序言 205
5.1.2 费马大定理 208
5.1.3 费马小定理 209
5.1.4 费马平方和定理 211
5.1.5 费马多边形定理 213
5.2 青春活力——几何数论 215
5.2.1 序言 215
5.2.2 闵可夫斯基与几何数论 216
5.2.3 格点问题 217
5.2.4 除数问题 220
附录A 调和级数发散的14种证法 223
附录B 黎曼ζ函数 232
附录C 数论常用常数连分数表 235
附录D 论不大于一个给定值的素数个数 237
附录E 17世纪以来部分数学家族谱 252
参考文献 254