第一章 预备知识 1
1.1 证明的必要性 1
1.2 集合 3
1.3 关系 6
1.4 函数 10
1.5 等价关系与划分 15
1.6 序 19
1.7 结构的例子 21
第二章 命题逻辑 25
2.1 引言 25
2.2 命题逻辑的语言 26
2.3 真值指派 30
2.4 唯一可读性 36
2.5 其他联词 38
2.6 命题逻辑的一个推演系统 42
2.7 命题逻辑的自然推演 45
2.8 命题逻辑的可靠性和完全性定理 48
2.9 模态逻辑简介 55
第三章 一阶逻辑的语言 63
3.1 一阶逻辑的语言的定义和例子 63
3.2 自由出现和约束出现 70
第四章 形式证明 73
4.1 一阶逻辑的一个公理系统 73
4.2 推理和元定理 76
4.3 其他元定理 80
4.4 前束范式 83
4.5 自然推演 84
第五章 一阶语言的结构和真值理论 89
5.1 一阶语言的结构 89
5.2 可定义性 95
5.3 同态和同构 98
第六章 哥德尔完全性定理 105
6.1 可靠性定理 105
6.2 完全性定理 107
6.3 自然推演系统的可靠性和完全性 114
6.4 紧致性定理及其应用 117
第七章 递归论的基本知识 121
7.1 原始递归函数 121
7.2 递归函数 128
7.3 图灵机 132
7.4 图灵可计算函数与部分递归函数 138
7.5 递归可枚举集 146
第八章 简化版本的自然数模型 151
8.1 紧致性定理及其应用 151
8.2 可判定的理论 156
8.3 只含后继的自然数模型 160
8.4 包含后继和序的自然数模型 164
8.5 普莱斯伯格算术模型 168
第九章 哥德尔第一不完全性定理 173
9.1 可表示性 173
9.2 语法的算术化 185
9.3 不动点引理和递归定理 191
9.4 不可定义性、不完全性和不可判定性 195
第十章 哥德尔第二不完全性定理 201
10.1 可证性条件 202
10.2 第二可证性条件（D2）的证明 204
10.3 第三可证性条件（D3）的证明 216
10.4 哥德尔第二不完全性定理 224
10.5 自然的不可判定语句 228
第十一章 结束语 231
附录 239
哥德尔的生平 239
哥德尔的主要数学工作 240
参考文献 243
索引 245