第1章 函数 1
1.1 基本要求 1
1.2 知识点解析 1
【1-1】函数概念的理解 1
【1-2】反函数的记号与图像 2
【1-3】如何围绕函数的初等运算探索函数性质 2
1.3 解题指导 2
【题型1-1】求解不等式 2
【题型1-2】确定函数的定义域 4
【题型1-3】求可逆函数的反函数 4
【题型1-4】求函数的复合以及分析复合函数的构成 5
【题型1-5】确定函数所具备的几何性质 6
1.4 知识扩展 8
习题1 10
部分答案与提示 11
第2章 极限与连续 13
2.1 基本要求 13
2.2 知识点解析 13
【2-1】理解数列极限的定义 13
【2-2】判定变量的极限存在的常用方法 14
【2-3】判定变量的极限不存在的常用方法 14
【2-4】收敛数列是否一定是单调有界数列 14
【2-5】数列在增加、减少或改变有限项之后是否会改变其敛散性 14
【2-6】使用极限四则运算法则时注意前提条件 14
【2-7】注意归纳特殊函数所承载的性质 15
【2-8】如何论述数列或函数的无界性 15
【2-9】无界变量与无穷大量的区别 15
【2-10】等价代换与函数运算的关系归纳 15
2.3 解题指导 16
【题型2-1】依据定义或性质论证极限结果 16
【题型2-2】有通项公式的数列极限计算 17
【题型2-3】递归方式定义的数列的极限计算 18
【题型2-4】确定无穷小量的主部 19
【题型2-5】使用无穷小量因式替换求函数极限 20
【题型2-6】求幂指型变量uv的极限 21
【题型2-7】根据极限相关条件确定待定参数问题 22
【题型2-8】判断函数的连续性 23
【题型2-9】函数的间断点确定与类型识别 24
【题型2-10】连续函数的介值问题 24
【题型2-11】与连续有关的其他问题 26
2.4 知识扩展 26
习题2 27
部分答案与提示 30
第3章 导数与微分 31
3.1 基本要求 31
3.2 知识点解析 31
【3-1】学习导数的重要意义 31
【3-2】几对容易混淆的导数记号 31
【3-3】在一点连续但不可导的函数 32
【3-4】一点处可导与一点附近可导的区别 32
【3-5】导数概念与微分概念的比较 33
【3-6】何时需要依据定义求函数在一点的导数 33
【3-7】复合函数导数的链法则与复合函数微分的链法则 33
【3-8】导函数的周期性与奇偶性 34
【3-9】绝对值函数的可导性 34
【3-10】与导数定义等价的几个极限式 35
3.3 解题指导 35
【题型3-1】依据导数定义判定函数在某点的可导性及计算导数 35
【题型3-2】由可导性确定函数中的待定参数 37
【题型3-3】讨论导函数在一点的连续性 38
【题型3-4】一类可以转化为函数在某点的导数的极限 39
【题型3-5】含绝对值因式的函数的可导性 39
【题型3-6】依据求导法则和公式计算初等函数的导数 40
【题型3-7】求反函数的导数 41
【题型3-8】求隐函数的导数 42
【题型3-9】求由参数方程所确定的函数的导数 43
【题型3-10】求由极坐标方程所确定函数的导数 44
【题型3-11】求幂指函数与连续积商函数的导数 44
【题型3-12】微分的计算与应用 45
【题型3-13】求函数的n阶导数 47
【题型3-14】求相关变化率 48
【题型3-15】导数的几何应用 48
3.4 知识扩展 49
习题3 51
部分答案与提示 55
第4章 微分中值定理·应用 57
4.1 基本要求 57
4.2 知识点解析 57
【4-1】本章的脉络和主要思想方法 57
【4-2】拉格朗日中值公式的等价形式及意义 57
【4-3】柯西中值定理的下述证法对吗 58
【4-4】正确理解微分中值定理的条件 58
【4-5】选用微分中值定理的一般原则和思路 58
【4-6】洛必达法则使用要点 59
【4-7】函数的驻点与函数的极值点关系 59
【4-8】极值与最值的区别与联系是什么 60
【4-9】曲线渐近线 60
【4-10】泰勒公式的重要性和典型用途归纳 60
4.3 解题指导 60
【题型4-1】方程的根问题 60
【题型4-2】函数的中值问题（或表现为方程的根问题） 62
【题型4-3】函数恒等式（或函数恒为常数）的证明 67
【题型4-4】含中值点导数（或f（x2）－f（x1））的不等式的证明 67
【题型4-5】函数不等式u（x）＞v（x）的证明 69
【题型4-6】求函数的泰勒展开式 73
【题型4-7】泰勒公式用于确定无穷小量主部和导数计算 74
【题型4-8】未定型（或不定式）的极限 75
【题型4-9】函数单调性与凹凸性的判别 78
【题型4-10】极值问题 80
【题型4-11】最值问题 82
【题型4-12】求曲线的渐近线 82
【题型4-13】求曲线的曲率 83
【题型4-14】函数的作图 84
4.4 知识扩展 85
习题4 86
部分答案与提示 90
第5章 不定积分 92
5.1 基本要求 92
5.2 知识点解析 92
【5-1】在区间（a,b）内有间断点的函数是否存在原函数 92
【5-2】为何有时候使用的方法不同求出来的原函数不一样 92
【5-3】初等函数的原函数是否还是初等函数 93
【5-4】不理解任意常数作用导致的一种错误 93
【5-5】不定积分法的选择要领 93
【5-6】基本积分表的扩充 94
5.3 解题指导 94
【题型5-1】用分项积分法计算不定积分 94
【题型5-2】用凑微分法计算不定积分 95
【题型5-3】用换元法计算不定积分 99
【题型5-4】用分部积分法计算不定积分 101
【题型5-5】求有理函数的不定积分 104
【题型5-6】一题多解举例 107
【题型5-7】计算分段函数的不定积分 110
【题型5-8】涉及不定积分概念与性质的综合问题 111
5.4 知识扩展 112
习题5 113
部分答案与提示 116
第6章 定积分 120
6.1 基本要求 120
6.2 知识点解析 120
【6-1】可利用定积分概念解决的问题 120
【6-2】闭区间上的有界函数是否一定可积 120
【6-3】如果｜f（x）｜可积，那么f（x）是否一定可积 120
【6-4】函数可积与存在原函数是不是一回事 121
【6-5】为什么说牛顿-莱布尼兹公式是微积分基本公式 121
【6-6】对称区间上的连续奇函数的原函数都是偶函数吗 121
【6 7】对称区间上的连续偶函数的原函数都是奇函数吗 121
【6-8】连续周期函数的原函数都是周期函数吗 122
【6-9】反常积分与定积分的关系 122
【6-10】能否将定积分中“对称性方法”用在反常积分上 122
6.3 解题指导 122
【题型6-1】用分项积分法和凑微分法求定积分 122
【题型6-2】用换元法求定积分 123
【题型6-3】用分部积分法求定积分 124
【题型6-4】求对称区间上的定积分 126
【题型6-5】求周期函数的定积分 127
【题型6-6】求分段函数的定积分 128
【题型6-7】利用几个定积分公式求某些定积分 129
【题型6-8】利用定积分求某些n项和的数列的极限 130
【题型6-9】求变限积分函数的导数 132
【题型6-10】定积分等式的证明 133
【题型6-11】与定积分有关的方程的根问题或中值问题 135
【题型6-12】定积分不等式的证明 138
【题型6-13】求含变限积分或定积分的极限 142
【题型6-14】讨论变限积分函数的基本性质 143
【题型6-15】求分段函数的变限积分 146
【题型6-16】求解两种含有积分的函数方程 146
【题型6-17】求无穷区间上的反常积分 147
【题型6-18】求无界函数的反常积分 148
【题型6-19】求混合型反常积分 149
【题型6-20】求平面区域的面积 150
【题型6-21】求截面面积为已知的立体的体积 151
【题型6-22】求平面曲线的弧长 152
【题型6-23】定积分的物理应用 153
【题型6-24】与定积分有关的最值问题 154
6.4 知识扩展 156
习题6 157
部分答案与提示 163
第7章 常微分方程 165
7.1 基本要求 165
7.2 知识点解析 165
【7-1】方程分类与解法对应总览 165
【7-2】微分方程的通解是否指微分方程的所有解 166
【7-3】求解一阶微分方程的关键是什么？ 166
【7-4】如何求二阶齐次常系数线性微分方程的通解 167
【7-5】如何求二阶非齐次常系数线性微分方程的通解 167
7.3 解题指导 167
【题型7-1】求一阶微分方程的通解或特解 167
【题型7-2】可降阶的高阶微分方程的求解 172
【题型7-3】二阶常系数线性微分方程求解 174
【题型7-4】三阶及以上常系数齐次线性微分方程的求解 176
【题型7-5】已知微分方程的解，反求微分方程 176
【题型7-6】欧拉方程的求解 178
【题型7-7】能转化为微分方程的积分方程的求解 179
【题型7-8】微分方程的几何应用举例 181
【题型7-9】微分方程的物理应用举例 182
【题型7-10】微分方程综合问题 184
7.4 知识扩展 185
习题7 186
部分答案与提示 189
第8章 矢量代数与空间解析几何 192
8.1 基本要求 192
8.2 知识点解析 192
【8-1】矢量与数量的比较 192
【8-2】数量积、矢量积、混合积的比较 193
【8-3】平面方程的四种形式 193
【8-4】直线方程的四种形式 194
【8-5】直线、平面间的位置关系 194
【8-6】柱面和旋转面的方程特征 195
【8-7】如何求空间点或曲线在其他图形上的投影点或投影线 195
8.3 解题指导 195
【题型8-1】矢量的性质与运算 195
【题型8-2】矢量方法在初等几何学中的应用 198
【题型8-3】求平面方程 199
【题型8-4】求直线方程 202
【题型8-5】直线、平面间的位置关系 204
【题型8-6】点到直线与点到平面的距离 205
【题型8-7】求旋转曲面的方程 207
【题型8-8】求空间曲线在坐标平面上的投影 208
8.4 知识扩展 209
习题8 210
部分答案与提示 213
第9章 多元函数微分学 215
9.1 基本要求 215
9.2 知识点解析 215
【9-1】二元函数极限与一元函数极限的对比 215
【9-2】多元函数的连续性与对每个变量连续的关系 216
【9-3】在一点的连续、偏导存在、方向导数存在以及可微等的相互关系 216
【9-4】隐函数存在定理的几点注记 217
【9-5】条件极值与拉格朗日乘数法 217
【9-6】梯度概念的理解 217
9.3 解题指导 218
【题型9-1】二重极限的存在性与计算问题 218
【题型9-2】连续、偏导存在、可微的判定问题 219
【题型9-3】复合函数求导 222
【题型9-4】隐函数求导 226
【题型9-5】空间曲线的切线和空间曲面的切平面 229
【题型9-6】求方向导数与梯度 231
【题型9-7】求多元函数的极值 232
【题型9-8】求有界闭区域上连续函数的最大值与最小值 234
【题型9-9】最值应用问题 235
9.4 知识扩展 236
习题9 237
部分答案与提示 240
第10章 重积分 243
10.1 基本要求 243
10.2 知识点解析 243
【10-1】如何在直角坐标系下将二重积分化为逐次积分 243
【10-2】在什么情况下采用极坐标代换计算二重积分 244
【10-3】如何利用对称性化简重积分计算 244
【10-4】如何利用几何意义与重心公式计算重积分 245
【10-5】如何在直角坐标系下将三重积分化为二重积分及定积分 246
【10-6】如何在柱面坐标系下计算三重积分 246
【10-7】如何在球面坐标系下计算三重积分 247
【10-8】不绘制空间图形如何确定三重积分的积分限 247
10.3 解题指导 248
【题型10-1】在直角坐标系下计算二重积分 248
【题型10-2】在极坐标系下计算二重积分 250
【题型10-3】利用对称性化简二重积分 252
【题型10-4】交换积分次序或转换两种坐标系中的二次积分 254
【题型10-5】在直角坐标系下计算三重积分 257
【题型10-6】在柱面坐标系下计算三重积分 258
【题型10-7】在球面坐标系下计算三重积分 259
【题型10-8】利用对称性化简三重积分 261
【题型10-9】改变积分次序或坐标系计算三重积分 262
【题型10-10】求分段函数的重积分 262
【题型10-11】利用重心计算重积分 265
【题型10-12】利用一般变量代换计算重积分 266
【题型10-13】重积分的不等式或等式的证明 268
【题型10-14】变区域重积分问题 269
【题型10-15】重积分的几何应用 270
【题型10-16】重积分的物理应用 270
10.4 知识扩展 272
习题10 273
部分答案与提示 277
第11章 曲线积分与曲面积分 279
11.1 基本要求 279
11.2 知识点解析 279
【11-1】第一型曲线积分的计算方法 279
【11-2】第一型曲面积分的计算方法 280
【11-3】关于第一型曲线积分的对称性 280
【11-4】关于第一型曲面积分的对称性 280
【11-5】如何利用几何意义与重心公式计算第一型曲线及曲面积分 281
【11-6】将第二型曲线积分化为定积分的要点 281
【11-7】如何选择第二型平面曲线积分的计算方法 281
【11-8】如何选择第二型空间曲线积分的计算方法 282
【11-9】将第二型曲面积分化为二重积分的要点 283
【11-10】两类曲面积分的关系 284
【11-11】如何将组合式的第二型曲面积分化为单一式的第二型曲面积分 284
【11-12】如何选择第二型曲面积分的计算方法 284
【11-13】场的定义和性质 285
11.3 解题指导 286
【题型11-1】第一型曲线积分的计算 286
【题型11-2】第一型曲面积分的计算 288
【题型11-3】第一型曲线积分与曲面积分的物理应用 289
【题型11-4】第二型平面曲线积分的计算 290
【题型11-5】利用曲线积分与路径无关的条件求函数 297
【题型11-6】第二型曲面积分的计算 299
【题型11-7】第二型空间曲线积分的计算 303
【题型11-8】第二型线、面积分的物理应用举例 306
【题型11-9】梯度、散度、旋度的综合计算 307
11.4 知识扩展 308
习题11 310
部分答案与提示 316
第12章 无穷级数 318
12.1 基本要求 318
12.2 知识点解析 318
【12-1】添加括号是否改变级数的敛散性 318
【12-2】通项趋于零的级数是否一定收敛 319
【12-3】如何判定正项级数的敛散性 319
【12-4】如何判定变号级数的敛散性 319
【12-5】通项为等价无穷小的两个级数是否有相同的敛散性 319
【12-6】通项趋于零，但不是单调减少的交错级数是否不收敛 320
【12-7】两个收敛的变号级数之和的收敛性判定问题 320
【12-8】如何求幂级数的收敛半径 320
【12-9】如果幂级数？anxn和？bnxn的收敛半径分别为R1,R2，它们的和级数？（an+bn）xn的收敛半径一定为R=min｛R1,R2｝吗 321
【12-10】幂级数经逐项求导或逐项积分后收敛半径、收敛区间和收敛域会变化吗 321
【12-11】f（x）的泰勒级数在收敛域内一定处处收敛于f（x）吗 321
【12-12】如何理解函数的幂级数展开式的唯一性 321
【12-13】傅里叶级数与幂级数的比较 322
12.3 解题指导 322
【题型12-1】计算数项级数的部分和与数项级数的和 322
【题型12-2】利用数项级数的性质讨论级数的敛散性 323
【题型12 3】用比值法或根值法判别正项级数的敛散性 324
【题型12-4】用比较判别法及其极限形式判别正项级数的敛散性 325
【题型12-5】用积分判别法判别正项级数的敛散性 327
【题型12-6】判定变号级数？un（或者称为任意项级数）的敛散性 328
【题型12-7】证明包含有抽象的通项的数项级数的敛散性 329
【题型12-8】求幂级数收敛半径及收敛域 331
【题型12-9】将函数展开为幂级数 333
【题型12-10】求幂级数的和函数 336
【题型12-11】利用幂级数求数项级数的和 337
【题型12-12】将区间［－π，π］上的函数展开为傅里叶级数 339
【题型12-13】将区间［0，π］上的函数展开为正弦（或余弦）级数 340
【题型12-14】将区间［－l,l］上的函数展开为傅里叶级数以及将区间［0,l］上的函数展开为正弦（或余弦）级数 342
【题型12-15】求f（x）的傅里叶级数的和函数 343
12.4 知识扩展 344
习题12 345
部分答案与提示 349