第一部分 张量定义及其代数性质 1
第一章 张量定义及表示 3
1.1 多重线性函数 3
1.2 对偶基与向量的表示 4
1.2.1 对偶基 4
1.2.2 量的表示与基的转换 5
1.3 张量的表示 7
第二章 张量的运算性质 9
2.1 基本代数运算 9
2.2 置换运算与行列式 11
2.2.1 置换运算的定义与性质 12
2.2.2 线性代数中的若干应用 15
2.3 张量的外积运算 22
2.3.1 对称化算子与反称化算子 22
2.3.2 反对称张量的外积运算 24
2.3.3 外形式与反对称张量的表示 26
2.3.4 Eddington张量 35
2.4 Hodge星算子 37
第三章 仿射量的基本性质 40
3.1 仿射量的特征问题 40
3.1.1 仿射量的行列式 40
3.1.2 仿射量的特征问题与主不变量 43
3.1.3 仿射量的转置、迹与矩 47
3.2 谱分解 51
3.3 极分解 52
第二部分 有限维Euclid空间中体积上张量场场论 55
第四章 曲线坐标系 57
4.1 曲线坐标系基本概念 57
4.2 曲线坐标系的局部基运动方程 59
4.3 曲线坐标系下的速度、加速度表示形式 62
4.3.1 曲线与轨迹 62
4.3.2 速度 62
4.3.3 加速度 63
4.4 正交曲线坐标系应用事例 64
4.4.1 球坐标系 64
4.4.2 抛物线柱坐标系 66
4.4.3 椭圆柱坐标系 68
4.4.4 双极坐标系 70
第五章 张量场可微性 73
5.1 张量场与张量赋范线性空间 73
5.2 张量场可微性与张量分量协变导数 74
5.3 张量场的偏导数与张量场的微分型场论算子 77
5.3.1 张量场的偏导数 77
5.3.2 张量场的梯度 78
5.3.3 张量场的散度 78
5.3.4 张量场的旋度 79
第六章 场论恒等式 81
6.1 场论恒等式推演基本方法 81
6.2 场论恒等式推演事例 83
6.2.1 基本关系式 83
6.2.2 Helmholtz-Stokes分解 85
6.2.3 向量场旋度（涡量）相关恒等式 87
6.2.4 仿射量相关恒等式 87
6.2.5 若干代数关系式 90
第七章 旋转参照系下可压缩流动的守恒律方程 93
7.1 固定参照系及旋转参照系之间的基本关系式 93
7.2 质量守恒方程 98
7.3 动量守恒方程 98
7.4 能量守恒方程 100
第八章 时均分解下的流动方程 102
8.1 时间平均与协变导数之间的关系 102
8.2 可压缩流动情形湍流Favre平均方程 102
8.2.1 连续性方程 103
8.2.2 动量方程 103
8.2.3 应力方程 104
8.3 均质情形湍流平均方程 107
第九章 一般曲线坐标系应用事例 109
9.1 基本方法 109
9.2 事例：非规则上下表面的槽道流 110
9.2.1 微分同胚构造 110
9.2.2 基本几何量计算 111
9.2.3 均质湍流平均方程 112
9.3 事例：管径可变化轴对称圆管内流动 117
9.3.1 微分同胚构造 117
9.3.2 基本几何量计算 118
9.3.3 可压缩流动方程 120
9.4 事例：非规则柱形体绕流 130
9.4.1 微分同胚构造 130
9.4.2 基本几何量计算 131
9.5 事例：基于曲面的半正交系 133
9.5.1 微分同胚构造 133
9.5.2 基本几何量计算 135
9.5.3 旋转机械气动力学方程在曲面上的限制 137
9.6 事例：旋转机械叶片间流动 144
9.6.1 微分同胚构造 144
9.6.2 基本几何量计算 146
9.7 事例：非规则封闭曲面内部流动 149
9.7.1 微分同胚构造 149
9.7.2 基本几何量计算 150
第十章 积分关系式 152
10.1 线、面以及体积分之间的基本关系式 152
10.2 动量导数矩关系式 153
10.2.1 基本关系式 153
10.2.2 涡动力学中的应用事例 157
第十一章 曲线上张量场场论 159
11.1 Frenet标架及其运动方程 159
11.1.1 曲线与曲线的弧长 159
11.1.2 以弧长为参数的Frenet标架及其运动方程 160
11.1.3 一般形式的Frenet标架及其运动方程 163
11.1.4 曲线局部参数化 165
11.2 曲线上张量场微分学 166
第十二章 非完整基理论 168
12.1 完整基之间的相互关系 168
12.2 非完整基一般理论 171
12.3 从完整的正交系到非完整的单位正交系 174
12.4 弹性力学中的应用事例 176
12.4.1 基本方程 176
12.4.2 球坐标系 177
12.4.3 抛物线柱坐标系 182
12.4.4 旋转抛物面坐标系 187
12.5 流体力学中的应用事例 194
12.5.1 基本方程 194
12.5.2 球坐标系 194
12.5.3 抛物线柱坐标系 196
12.5.4 旋转抛物面坐标系 198
第十三章 张量多点表示形式 202
13.1 张量多点表示形式 202
13.2 张量场多点表示形式下的导数计算 202
13.3 张量场多点表示形式下的非完整基理论 203
13.3.1 张量三点表示形式下的非完整基 203
13.3.2 张量两点表示形式下的非完整基 205
第三部分 有限维Euclid空间中曲面上张量场场论 209
第十四章 曲面与曲面局部标架 211
14.1 曲面基本几何性质 211
14.1.1 曲面与切空间 211
14.1.2 曲面第一基本形式及曲面度量张量 212
14.1.3 曲面第二基本形式及曲面曲率张量 214
14.1.4 Gauss曲率和平均曲率 214
14.1.5 Gauss曲率及平均曲率的意义 216
14.1.6 二维Monge型曲面的Gauss曲率及平均曲率 218
14.2 曲面局部标架运动方程 221
14.3 曲面局部参数化 224
14.4 曲面截线及法截线曲率 228
14.4.1 曲面上的曲线 228
14.4.2 截线曲率 228
14.4.3 法截线曲率 230
第十五章 曲面上张量场微分学 232
15.1 曲面上张量场偏导数及曲面梯度算子 232
15.2 曲面上张量场可微性 234
15.3 Riemann-Christoffel张量 235
15.4 Levi-Civita梯度算子 241
第十六章 R3中二维曲面上积分关系式 242
16.1 内蕴形式广义Stokes公式 242
16.2 应用事例 244
16.2.1 软物质研究中的若干积分恒等式 244
16.2.2 板和壳内蕴理论中的控制方程 248
16.2.3 固定曲面上的流动控制方程 249
第十七章 曲面上仿射量 251
17.1 曲面上仿射量的代数性质 251
17.1.1 特征问题 251
17.1.2 谱分解 252
17.1.3 极分解 252
17.2 若干恒等式 253
第十八章 微分流形的概念、思想及方法 255
18.1 一般流形的定义 255
18.2 曲面的流形定义 260
18.3 流形上切向量、余切向量及张量 263
18.3.1 切向量 263
18.3.2 流形上的曲线 265
18.3.3 余切向量 267
18.3.4 张量 268
18.4 联络 270
18.4.1 切向量丛、余切向量丛及张量丛 270
18.4.2 一般向量丛及其上的联络 272
18.4.3 切丛上的联络 274
18.4.4 余切丛上的联络 276
18.4.5 张量丛上的联络 277
18.5 平行移动 279
18.6 外微分运算与里积运算 279
18.6.1 外微分运算 279
18.6.2 里积运算 281
18.7 同态扩张 284
18.8 Lie导数 293
18.8.1 Lie导数的定义 293
18.8.2 Lie导数的代数结构 303
18.9 Riemann流形 307
18.9.1 Riemann流形上的内积 307
18.9.2 Riemann流形上的联络 310
18.9.3 Riemann流形上的平行移动 312
18.10 活动标架理论及其应用 313
18.10.1 基本理论 313
18.10.2 相关应用 314
18.11 流形上的积分 316
18.11.1 流形上的第一类积分 316
18.11.2 流形上的第二类积分 317
18.11.3 单位1分解 321
18.11.4 流形上的Stokes公式 323
18.11.5 流形上Stokes公式的旋度流量形式 329
第四部分 体积形态连续介质力学的相关理论 333
第十九章 当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论 335
19.1 构型构造 335
19.2 变形梯度 336
19.3 变形刻画 338
19.4 输运定理 346
19.4.1 第二类输运定理 346
19.4.2 第一类输运定理 347
19.5 守恒律方程 348
19.5.1 质量守恒 348
19.5.2 动量守恒 348
19.5.3 动量矩守恒 349
19.5.4 能量守恒 350
19.6 应用事例 352
19.6.1 基本思想 352
19.6.2 曲线坐标系显含时间的涡量-流函数解法 355
第二十章 涡量动力学相关理论 358
20.1 涡量定义及其控制方程 358
20.2 物质系统的涡量定理 360
20.3 可变形边界上变形率张量 362
20.4 可变形边界上胀压量与涡量法向梯度 366
第二十一章 有限变形弹性力学相关理论及应用 370
21.1 弹性介质有限变形的Euler型控制方程 370
21.2 弹性介质有限变形的Lagrange型控制方程 370
21.3 事例：厚壁筒的轴对称变形 373
21.3.1 Lagrange型控制方程 373
21.3.2 Euler型控制方程 378
21.3.3 Lagrange型控制方程与Euler型控制方程的一致性 379
21.4 事例：厚球壳的膨胀与收缩 381
21.4.1 Lagrange型控制方程 381
21.4.2 Euler型控制方程 386
21.4.3 Lagrange型控制方程与Euler型控制方程的一致性 387
21.5 事例：立方体纯弯曲 389
21.5.1 Lagrange型控制方程 389
21.5.2 Euler型控制方程 395
21.5.3 Lagrange型控制方程与Euler型控制方程的一致性 396
21.6 事例：有限厚度圆板变形为开口厚球壳 398
21.6.1 Euler型控制方程 398
21.6.2 Lagrange型控制方程 402
第五部分 曲面形态连续介质力学的相关理论 407
第二十二章 几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 409
22.1 构型构造 409
22.2 变形梯度 410
22.3 变形刻画 415
22.4 输运定理 418
22.4.1 第二类输运定理 418
22.4.2 第一类输运定理 419
22.5 涡量定义及速度分解 419
22.6 守恒律方程 421
22.6.1 质量守恒 421
22.6.2 动量守恒 422
22.6.3 动量矩守恒 424
22.6.4 能量守恒 426
22.7 三维流动在二维曲面上的限制 427
第二十三章 固定曲面上二维流动涡量动力学基础 430
23.1 构型构造及Levi-Civita梯度算子 430
23.2 涡量定义及其控制方程 431
23.2.1 基本关系式 431
23.2.2 涡量控制方程 433
23.3 涡量动力学解法 434
23.3.1 Helmholtz-Stokes分解 434
23.3.2 胀压量及涡量控制方程 434
23.4 胀压量及涡量耦合关系式 435
23.5 固定壁面上变形率张量 436
23.6 不可压缩流动相关理论 439
23.6.1 流函数 439
23.6.2 流函数-涡量解法 439
23.6.3 压力控制方程 440
第二十四章 一般理论应用事例 442
24.1 膜的有限变形运动 442
24.2 海面油污扩散 444
24.2.1 质量守恒方程 444
24.2.2 动量守恒方程 444
第六部分 张量映照微分学 447
第二十五章 一般赋范线性空间上微分学 449
25.1 范数 449
25.2 映照极限及空间完备性 452
25.2.1 映照极限 452
25.2.2 空间的完备性 454
25.3 映照可微性及高阶导数 458
25.3.1 映照可微性 458
25.3.2 有限增量估计 461
25.3.3 高阶导数 464
25.4 向量值映照 471
25.5 无限小增量公式 484
25.6 隐映照定理和逆映照定理 485
25.6.1 完备度量空间上的压缩映照定理 485
25.6.2 由压缩映照定理获得隐映照定理 487
25.6.3 由压缩映照定理获得逆映照定理 491
25.6.4 由隐映照定理获得逆映照定理 495
25.7 有限维Euclid空间上隐映照定理和逆映照定理 496
25.7.1 Euclid空间上隐映照定理及其应用 496
25.7.2 Euclid空间上逆映照定理及其应用 500
第二十六章 变分基本理论及应用 510
26.1 一般理论 510
26.1.1 一阶变分 510
26.1.2 二阶变分 512
26.2 应用事例 515
第二十七章 张量赋范线性空间上微分学 519
27.1 张量空间的范数 519
27.2 可微性及导数计算 522
27.3 可微性的若干事例 525
27.4 隐映照定理和逆映照定理 528
27.4.1 张量值映照的隐映照定理 528
27.4.2 张量值映照的逆映照定理 530
27.5 变分若干事例 530
名词索引 535
插图目录 539
参考文献 542