第一部分 数理逻辑 3
第1章 命题逻辑 3
1.1 命题及其表示 3
1.1.1 命题的基本概念 3
1.1.2 命题分类 4
1.1.3 命题标识符 4
1.2 逻辑联结词 5
1.2.1 否定联结词 5
1.2.2 合取联结词 5
1.2.3 析取联结词 6
1.2.4 条件联结词 7
1.2.5 双条件联结词 7
1.2.6 字位运算与布尔检索 8
1.3 命题公式与解释 9
1.3.1 命题公式 9
1.3.2 命题的符号化 10
1.4 真值表与等价公式 12
1.4.1 真值表 12
1.4.2 等价公式 13
1.5 命题公式的分类与蕴含式 17
1.5.1 命题公式的分类 17
1.5.2 重言式与矛盾式的性质 18
1.5.3 蕴含式 18
1.6 其他逻辑联结词和最小功能完备联结词组 21
1.6.1 其他逻辑联结词 21
1.6.2 最小功能完备联结词组 22
1.6.3 联结词的逻辑电路表示 23
1.7 对偶与范式 24
1.7.1 对偶式与对偶原理 24
1.7.2 命题公式的范式 26
1.7.3 命题公式的主析取范式和主合取范式 28
1.8 推理理论 37
1.8.1 直接证法 38
1.8.2 间接证法 40
习题一 42
实验一 真值表的程序计算 47
第2章 谓词逻辑 49
2.1 谓词的基本概念 49
2.1.1 个体和谓词 49
2.1.2 量词 51
2.2 谓词公式与符号化解释 52
2.2.1 谓词公式 52
2.2.2 谓词公式的符号化 53
2.3 变元的约束 54
2.3.1 约束变元和自由变元 54
2.3.2 换名规则 55
2.3.3 代替规则 56
2.4 谓词演算的等价式与蕴含式 56
2.4.1 谓词公式的赋值 56
2.4.2 谓词公式的分类 57
2.4.3 谓词演算的等价式 58
2.4.4 谓词演算的蕴含式 62
2.5 谓词公式范式 64
2.5.1 前束范式 64
2.5.2 斯柯林范式 65
2.6 谓词演算的推理理论 66
2.6.1 US规则（Universal Specification，全称指定规则） 66
2.6.2 UG规则（Universal Generalization，全称推广规则） 66
2.6.3 ES规则（Existential Specification，存在指定规则） 66
2.6.4 EG规则（Existential Generalization，存在推广规则） 67
习题二 71
实验二 命题逻辑简单推理系统 73
第3章 基于归结原理的推理证明 75
3.1 谓词公式与子句集 75
3.1.1 斯柯林（Skolem）标准范式 75
3.1.2 子句与子句集 76
3.1.3 不可满足意义下的一致性 76
3.1.4 P=P1∧P2∧…∧Pn的子句集 76
3.2 海伯伦（Herbrand）理论 77
3.2.1 H域 77
3.2.2 原子集 77
3.2.3 H域上的解释 77
3.3 归结原理（Resolution Method） 78
3.3.1 置换与合一 78
3.3.2 命题逻辑中的归结原理 79
3.3.3 一阶谓词逻辑中的归结原理 80
3.3.4 归结原理的完备性 81
3.3.5 利用归结原理进行定理证明 81
3.3.6 应用归结原理进行问题求解 81
3.4 归结过程的控制策略 83
3.4.1 引入控制策略 83
3.4.2 归结控制策略及其应用举例 83
习题三 84
实验三 归结原理的程序实现 85
第二部分 集合论 89
第4章 集合及其运算 89
4.1 集合的概念及其表示 89
4.1.1 集合的概念 89
4.1.2 集合与集合间的关系 90
4.1.3 幂集（Power Set） 91
4.2 集合的基本运算 91
4.2.1 集合的并（Union）运算 91
4.2.2 集合的交（Intersection）运算 92
4.2.3 集合的交运算与并运算之间的关系 93
4.2.4 集合的补（Substraction）运算 93
4.2.5 集合的对称差（Symmetric Difference）运算 94
4.2.6 集合的计算机表示 96
4.3 集合中元素的计数 97
4.3.1 两个基本原理 97
4.3.2 排列、组合 97
4.3.3 容斥原理 98
4.4 集合的应用 100
4.4.1 数据表的并（∪）运算 101
4.4.2 数据表的差（-）运算 101
4.4.3 数据表的交（∩）运算 101
习题四 102
实验四 集合的基本运算 104
第5章 二元关系 106
5.1 集合的笛卡儿积 106
5.1.1 序偶（Ordered Pair） 106
5.1.2 笛卡儿积（Cartesian Product） 107
5.2 二元关系 109
5.2.1 二元关系的基本概念 109
5.2.2 二元关系的表示 109
5.2.3 关系的运算 110
5.2.4 关系的性质 114
5.2.5 关系的闭包（Closure）运算 116
5.3 等价关系 122
5.3.1 集合的划分（Partion ofSet） 122
5.3.2 等价关系（Equivalent Relation）与等价类 124
5.4 相容关系 127
5.4.1 集合的覆盖（Covering） 127
5.4.2 相容关系（Consistent Relation）与相容类 127
5.5 偏序关系 130
5.5.1 偏序关系（Partial Relation）与偏序集的概念 130
5.5.2 偏序集的哈斯（Hasse）图 131
5.5.3 偏序集中的特殊元 132
5.5.4 全序关系（Complete Partial Relation）及其应用 134
5.6 关系的应用 135
5.6.1 等价关系在计算机中的应用 135
5.6.2 序关系在项目管理中的应用 136
习题五 137
实验五 求关系的闭包 140
第6章 函数 142
6.1 函数的概念 142
6.1.1 函数（Function）的概念 142
6.1.2 几类特殊函数 143
6.2 逆函数与复合函数 145
6.2.1 逆函数 145
6.2.2 复合函数 146
习题六 148
实验六 函数的图形可视化 150
第7章 集合的基数 151
7.1 集合的等势与优势 151
7.2 基数、可数集与不可数集 151
7.2.1 基数 152
7.2.2 可数集与不可数集 153
7.2.3 基数的比较 157
习题七 159
实验七 自然数性质的可视化表示 160
第三部分 代数结构 163
第8章 代数系统 163
8.1 代数系统的概念 163
8.2 代数系统的运算及其性质 165
8.3 半群、群与子群 170
8.4 同态与同构 175
8.5 交换群与循环群、置换群 182
8.5.1 交换群 182
8.5.2 循环群 183
8.5.3 置换群 184
8.6 子群与群的陪集分解 186
8.7 环与域 189
习题八 194
实验八 代数系统的基本运算 198
第9章 形式语言和自动机 200
9.1 语言 200
9.2 形式语言和文法 203
9.3 有限状态机 205
9.4 有限状态自动机 206
9.5 语言与自动机的关系 211
习题九 215
实验九 设计输出状态自动机实验 219
第10章 格与布尔代数 220
10.1 格的概念 220
10.2 分配格 228
10.3 有补格 232
10.4 布尔代数与布尔表达式 234
10.5 数字电路逻辑运算 243
习题十 246
实验十 代数系统综合课程设计 247
第四部分 图论 251
第11章 图的基本概念 251
11.1 图的概念 251
11.1.1 无向图和有向图 251
11.1.2 简单图、多重图和同构图 252
11.1.3 完全图和正则图 255
11.1.4 几种特殊的图 255
11.1.5 子图 257
11.1.6 图的操作 258
11.2 图的连通性 259
11.2.1 通路与回路 259
11.2.2 连通图 260
11.2.3 二部图 263
11.3 图的矩阵表示 264
11.3.1 关联矩阵 265
11.3.2 邻接矩阵 266
11.3.3 可达矩阵 268
11.4 图的运算 268
11.5 欧拉图 269
11.5.1 欧拉通路和回路 269
11.5.2 半欧拉图和欧拉图 270
11.6 哈密顿图 273
11.6.1 哈密顿图 274
11.6.2 哈密顿图的判断条件 275
11.7 带权图 278
11.8 平面图 278
11.8.1 平面图的基本概念及性质 278
11.8.2 库拉托夫斯基定理 280
11.8.3 平面图着色及应用 281
11.8.4 边着色 282
11.9 应用举例 284
11.9.1 中国邮路问题 284
11.9.2 冰箱分隔问题 286
11.9.3 排课表问题 287
习题十一 288
实验十一 应用邻接矩阵方法求解锁具装箱问题 292
第12章 树 294
12.1 树的概念及性质 294
12.1.1 树的定义 294
12.1.2 树的一些性质 294
12.2 最小生成树 295
12.2.1 生成树 295
12.2.2 最小代价生成树 297
12.3 根树 298
12.3.1 根树的定义 298
12.3.2 根树的分类 299
12.4 树的应用 300
12.4.1 决策树 300
12.4.2 博弈树 301
习题十二 302
实验十二 应用生成树算法求解旅行商问题 304
第13章 支配集、覆盖集、独立集与匹配理论 306
13.1 支配集、覆盖集、独立集概念 306
13.1.1 支配集 306
13.1.2 覆盖集 306
13.1.3 独立集 307
13.2 边覆盖集与匹配 308
13.3 二部图中的匹配 311
13.4 图论的综合应用举例＊＊ 312
13.4.1 会议议程安排问题 312
13.4.2 大中型工程项目的优化 315
习题十三 320
实验十三 程序求解支配集、独立集问题 322
《离散数学》常用符号表 323
参考文献 327