第一章 函数 1
1.1 函数的概念及特性 1
一、函数的概念 1
二、函数的几种特性 3
三、反函数 4
四、复合函数 5
1.2 初等函数 6
一、基本初等函数 6
二、初等函数 6
习题一 7
演示与实验一 8
实验习题一 12
数学家的故事 13
第二章 极限与连续 14
2.1 数列的极限 14
2.2 函数的极限 18
一、当x→x0时函数的极限 18
二、当x→∞时函数的极限 19
2.3 极限的运算法则与性质 20
一、极限的运算法则 20
二、两个重要极限 21
2.4 无穷大量与无穷小量 24
一、无穷大量 24
二、无穷小量 25
三、无穷小的比较 25
四、渐近线 27
2.5 函数的连续性 27
一、连续与间断的直观描述 27
二、连续的定义 28
三、函数的间断点 29
四、初等函数的连续性 30
五、闭区间上连续函数的性质 31
习题二 33
演示与实验二 35
实验习题二 36
数学家的故事 37
第三章 导数与微分 38
3.1 导数的概念 38
一、导数的概念 38
二、可导性与连续性 43
3.2 求导法则 43
一、函数和、差、积、商的求导法则 43
二、反函数求导法则 45
三、基本求导公式 46
四、复合函数求导法则 46
五、隐函数求导法则 47
六、对数求导法 48
七、导数的实际意义 49
八、相关变化率 50
3.3 高阶导数 51
3.4 微分及其应用 53
一、微分的概念 53
二、微分的运算 54
三、微分的应用 56
习题三 58
演示与实验三 61
实验习题三 63
数学家的故事 63
第四章 中值定理与导数应用 65
4.1 中值定理 65
4.2 洛必达法则 68
一、洛必达法则 68
二、其他类型未定式的计算 71
4.3 导数在几何上的应用 72
一、函数的单调性 72
二、函数的极值与最值 73
三、函数的凸凹性和拐点 75
4.4 经济学中的最值问题 76
一、边际分析 76
二、税收问题 77
4.5 导数在其他问题中的应用 79
习题四 80
演示与实验四 81
实验习题四 83
数学家的故事 83
第五章 积分 85
5.1 定积分的概念 85
一、变速直线运动位移的计算 85
二、曲边梯形面积的计算 86
三、定积分的定义 87
四、定积分的基本性质 88
5.2 定积分基本定理 89
一、原函数的定义 89
二、积分上限的函数及其导数 90
三、微积分基本定理 92
5.3 不定积分 93
一、不定积分的定义及性质 93
二、不定积分的几何意义 94
5.4 不定积分的计算 95
一、不定积分计算的基本公式 95
二、不定积分计算的基本方法 95
5.5 定积分的计算 105
一、定积分直接积分法 105
二、定积分换元积分法 105
三、定积分分部积分法 107
5.6 无穷限积分 108
5.7 定积分的近似计算 109
一、梯形法 110
二、辛普生（Simpson）法 112
习题五 115
演示与实验五 116
实验习题五 118
数学家的故事 118
第六章 定积分的应用 120
6.1 定积分应用的基本思想方法 120
一、黎曼和 120
二、微元法 121
6.2 平面图形的面积 123
一、直角坐标情形 123
二、极坐标情形 126
6.3 立体的体积 128
一、旋转体的体积 128
二、平行截面面积为已知的立体的体积 129
6.4 社会科学中的应用 130
一、函数平均值 130
二、在经济学中的应用 132
三、学习曲线模型 136
四、生物上的应用 136
习题六 137
演示与实验六 139
实验习题六 141
数学家的故事 141
第七章 多元函数微分学 143
7.1 多元函数的基本概念 143
一、引例 143
二、多元函数 143
三、二元函数的几何表示 144
四、极限与连续 150
7.2 偏导数与全微分 151
一、偏导数 152
二、高阶偏导数 153
三、全微分 154
7.3 复合函数与隐函数求导法 155
一、复合函数偏导数的链式法则 155
二、隐函数求导法 156
7.4 二元函数的极值 158
一、（无）条件极值的概念 158
二、无条件极值 158
三、条件极值 160
7.5 多元微分的应用 162
一、用偏导数作经济边际分析 162
二、经济函数优化问题 163
习题七 166
演示与实验七 167
实验习题七 172
数学家的故事 173
第八章 二重积分 175
8.1 二重积分的概念与性质 175
一、二重积分的概念 175
二、二重积分的性质 176
8.2 二重积分的计算 176
一、在直角坐标系中计算二重积分 176
二、在极坐标系中计算二重积分 180
习题八 182
演示与实验八 183
实验习题八 184
数学家的故事 184
第九章 微分方程及其应用 187
9.1 微分方程及其相关概念 187
9.2 微分方程的解析解 189
一、直接积分法 189
二、变量代换法 191
三、猜测法 193
9.3 微分方程的应用 197
一、自由落体运动模型 197
二、物体冷却的数学模型 198
三、衰变问题模型 199
四、指数增长模型与阻滞增长模型 200
五、经典数学模型在其他领域中的应用 202
9.4 定性理论初步 203
一、方向场 204
二、一阶方程的平衡点及稳定性 205
9.5 微分方程的数值解法 206
一、欧拉法 206
二、改进的欧拉方法 207
习题九 208
演示与实验九 210
实验习题九 211
数学家的故事 212
第十章 无穷级数 214
10.1 无穷级数及其性质 214
10.2 常数项级数的敛散性 217
一、正项级数敛散性的判别 217
二、交错级数的敛散性 219
10.3 幂级数及其运算 220
一、收敛域的概念 220
二、幂级数的概念及敛散性 221
三、幂级数的运算 223
10.4 幂级数展开 224
10.5 幂级数的应用举例 226
习题十 228
演示与实验十 229
实验习题十 234
数学家的故事 234
附录一 部分习题参考答案 237
附录二 预备知识 248
附录三 Mathematica软件使用简介 251
参考文献 266