上篇 关于用高观点指导中学数学教学的研究 3
第1讲 平面几何中的面积方法 3
1.1传统的或常规的面积方法 3
1.2张景中的面积方法简介 5
1.2.1基本概念、基本命题和基本定理 5
1.2.2应用举例 7
1.2.3优点分析 11
1.2.4教学建议 12
习题1 12
第2讲 用变换群的观点看平面几何 14
2.1变换群与几何学 14
2.2等距变换（平移、旋转、轴反射）在平面几何解题中的应用方式 15
2.3应用等距变换解题举例 16
2.3.1平移 16
2.3.2旋转 21
2.3.3轴反射 24
2.4位似变换在解作图题中的应用 27
2.4.1位似变换的概念 27
2.4.2位似变换在解作图题中的应用方式 28
2.4.3应用举例 28
2.5变换群观点对平面几何课程改革的指导 29
习题2 31
第3讲 仿射几何观点下的中学几何 33
3.1平行投影和仿射变换，图形的仿射性质 33
3.2仿射变换和图形的仿射性质在解题中的应用 35
3.2.1应用条件和应用模式 35
3.2.2应用举例 35
3.3仿射坐标系的应用 40
3.3.1仿射坐标系 40
3.3.2仿射坐标系与直角坐标系中公式的异同 40
3.3.3仿射坐标系应用举例 42
习题3 47
第4讲 射影几何观点下的中学几何 49
4.1射影变换和射影几何 49
4.1.1中心投影 49
4.1.2无穷远点和无穷远直线 50
4.1.3射影变换和射影几何 50
4.1.4点的齐次坐标与曲线的齐次方程 51
4.2在拓广平面上解释欧氏平面上的问题 54
4.2.1关于两个圆的交点的个数 55
4.2.2关于双曲线的“内部”和“外部” 55
4.2.3与双曲线的两支都相切的直线存在吗？ 59
4.2.4抛物线没有平行的切线，为什么？ 59
4.2.5关于直线与圆锥曲线的交点的个数问题 60
4.3图形的三种性质（欧氏度量性质、仿射性质和射影性质）的区分，对教学的指导意义 61
4.4射影几何指导平面几何推广一例 63
习题4 65
第5讲 从方法论看解析几何 66
5.1哲学家笛卡儿创立了解析几何 66
5.1.1笛卡儿致力于寻找在一切领域建立真理的方法 66
5.1.2笛卡儿对当时的几何方法和代数方法进行了比较 67
5.1.3笛卡儿在《几何》中创立了解析几何 67
5.1.4关于笛卡儿的两个小故事 69
5.2解析几何方法的实质 70
5.3创立解析几何的重要意义 71
5.3.1提供了几何研究的一种新方法，促进了几何学的发展 71
5.3.2将几何和代数结合起来，推动了数学的发展 71
5.3.3提供了科学技术迫切需要的数量工具，促进了科学技术的发展进步 72
5.3.4开了“科学杂交”的先河，是对科学方法论的伟大贡献 72
5.4关于解析几何方法的两点思考 73
5.4.1坐标变换及坐标变换下的不变量在解析几何中的重要地位 73
5.4.2解析几何方法的反用 76
习题5 86
下篇 用波利亚数学教育思想指导教学 89
第6讲 波利亚数学教育思想简介 89
6.1数学教育的基本目标 89
6.2波利亚数学教育思想 90
6.2.1波利亚对数学教师的10条忠告 90
6.2.2对波利亚的数学教育思想的归纳 93
6.3波利亚关于解题教学的主张 96
6.4波利亚教你怎样解题——介绍波利亚的“怎样解题”表 99
第7讲 欧拉的科学研究方法两例 103
7.1欧拉公式V-E＋F=2的发现 103
7.2哥尼斯堡七桥问题 110
第8讲 数学教学改革实践几例 118
8.1 MM教育方式改革实验 118
8.2大面积提高教学质量——非重点普高数学教改实验 121
8.2.1重视非智力因素的开发，增强学习信心，提高学习积极性 122
8.2.2把发展学生的思维能力贯彻在整个教学之中 123
8.3《高中数学学习质量控制题》教学改革实验 126
8.3.1关于实验的基本情况介绍 127
8.3.2关于《控制题》的选设原则、基本类型和练习方法 128
8.3.3《控制题》存在的问题和今后设想 130
8.4韩国韩昌洙的家教学习方法指导 131
8.4.1追根究底学习法 132
8.4.2骨架学习法 134
第9讲 关于结合教学开展教学研究和撰写教学研究论文的建议 137
9.1关于结合教学开展研究的建议 137
9.2关于撰写教学研究论文的建议 138
附录 141
论反例 141
关于分类讨论的教学——以有向线段数量公式的教学为例 147
关于一道成人高考试题的思考——兼谈解题教学 152
关于在数学教学中强调通法的思考 157
关于重视几何直观分析的思考 161
先猜后证——证明定值问题的常用方法 165
对称地处理具有对称性的问题 171
用特殊值法解题是有前提条件的 175
习题解答 178
习题1 178
习题2 181
习题3 185
习题4 190
习题5 193