第1篇 高等数学 2
1.1 函数、极限、连续 2
1.1.1 求几类与复合函数有关的函数表示式 2
题型1.1.1.1 已知f（x）和?（x），求f[?（x）]或?[f（x）] 2
题型1.1.1.2 求分段点相同的两分段函数的复合函数 2
1.1.2 函数的奇偶性 3
题型1.1.2.1 判别（证明）函数的奇偶性 3
题型1.1.2.2 奇、偶函数性质的应用 4
1.1.3 讨论函数的有界性和周期性 5
题型1.1.3.1 判定有限开区间内连续函数的有界性 5
题型1.1.3.2 判定无穷区间内连续函数的有界性 5
题型1.1.3.3 讨论函数的周期性 6
1.1.4 理解极限概念 7
题型1.1.4.1 正确理解极限定义中的“ε、N”，“ε、δ”，“ε、X”语言的含义 7
题型1.1.4.2 正确区别无穷大量与无界变量 7
1.1.5 求未定式极限 8
题型1.1.5.1 求0／0型或∞／∞型极限 8
题型1.1.5.2 求0·∞型极限 11
题型1.1.5.3 求∞-∞型极限 12
题型1.1.5.4 求幂指函数型（0 0型，∞0型，1∞型）极限 12
1.1.6 求数列极限 15
题型1.1.6.1 求数列通项为n项和的极限 15
题型1.1.6.2 求由递推关系式给出的数列极限 17
1.1.7 求几类特殊子函数形式的函数极限 18
题型1.1.7.1 求须先考察左、右极限的函数极限 18
题型1.1.7.2 求含根式差的函数极限 21
题型1.1.7.3 求含或可化为含指数函数差的函数极限 21
题型1.1.7.4 求含lnf（x）的函数极限，其中lim fx→□（x）=1 22
题型1.1.7.5 求含有界变量因子的函数极限 22
1.1.8 求含参变量的函数极限lim n-∞ ?（n，x） 22
题型 1.1.8.1 求lim?n→∞（n，x），其中?（n，x）为或可化为F（x）g（n）指数函数型 23
题型1.1.8.2 求lim?n→∞（n，x），其中?（n，x）为或可化为g（n）F（x）幂函数型 23
题型1.1.8.3 求lim?（t，x），其中?（t，x）可化为g（n）F（x）型或F（x）g（t）型 24
题型1.1.8.4 求lim?n-∞（n，x）或lim?t→t0（n，x），其中?（n，x）=F（n，x）g（t,x）或?（t，x）=F（t，x）g（t，x） 24
1.1.9 已知一极限求其待定常数或含未知函数的另一极限 25
题型1.1.9.1 由含未知函数的一（些）极限，求含该函数的另一极限 25
题型1.1.9.2 已知极限式的极限，求其待定常数 26
1.1.10 比较和确定无穷小量的阶 27
题型1.1.10.1 比较无穷小量的阶 28
题型1.1.10.2 确定无穷小量为几阶无穷小量 29
1.1.11 讨论函数的连续性及间断点的类型 29
题型1.1.11.1 判别函数的连续性 29
题型1.1.11.2 讨论分段函数的连续性 30
题型1.1.11.3 判别函数间断点的类型 32
1.1.12 连续函数性质的两点应用 33
题型1.1.12.1 证明存在ξ∈[a，b]，使含ξ的等式成立 34
题型1.1.12.2 证明方程实根的存在性 35
1.2 一元函数微分学 37
1.2.1 导数定义的三点应用 37
题型1.2.1.1 判断函数在某点的可导性 37
题型1.2.1.2 利用导数定义求某些函数的极限 40
题型1.2.1.3 利用导数定义讨论函数性质 42
1.2.2 讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性 42
题型1.2.2.1 讨论分段函数的可导性 42
题型1.2.2.2 讨论分段函数的导函数的连续性 43
题型1.2.2.3 讨论一类特殊分段函数在其分段点的连续性、可导性及其导函数的连续性 44
1.2.3 讨论含绝对值函数的可导性 44
题型1.2.3.1 讨论绝对值函数|f（x）|的可导性 44
题型1.2.3.2 讨论函数f（x）=|?（x）|g（x）的可导性 44
1.2.4 求一元函数的导数和微分 45
题型1.2.4.1 求复合函数的导数 45
题型1.2.4.2 求反函数的导数 46
题型1.2.4.3 求隐函数的导数 47
题型1.2.4.4 求分段函数的一阶、二阶导数 48
题型1.2.4.5 求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数 48
题型1.2.4.6 求由参数方程所确定的函数的导数 49
题型1.2.4.7 求某些简单函数的高阶导数 49
题型1.2.4.8 求一元函数的微分 52
1.2.5 利用函数的连续性、可导性确定其待定常数 53
题型1.2.5.1 利用函数的连续性确定其待定常数 53
题型1.2.5.2 根据函数的可导性确定其待定常数 54
1.2.6 利用微分中值定理的条件及其结论解题 55
1.2.7 利用罗尔定理证明中值等式 56
题型1.2.7.1 证明中值等式f′（ξ）=0或f″（ξ）=0 57
题型1.2.7.2 证明存在ξ∈（a，b），使cf′（ξ）=bg′（ξ），其中c，b为常数 57
题型1.2.7.3 证明存在ξ∈（a，b），使k（ξ）f′（ξ）＋h（ξ）f（ξ）=Q（ξ） 58
题型1.2.7.4 证明存在ξ∈（a，b），使f（ξ）（ξ）＋f′（ξ）（ξ）=0 59
题型1.2.7.5 证明存在ξ∈（a，b），使（ξ）g（ξ）-f（ξ）g′（ξ）=0（g（ξ）≠0） 59
题型1.2.7.6 证明存在ξ∈（a，b），使（ξ）＋g′（ξ）f（ξ）=0 60
题型1.2.7.7 证明存在ξ∈（a，b），使nf（ξ）十ξf′（ξ）=0（n为正整数） 60
题型1.2.7.8 证明存在ξ∈（a，b），使f（ξ）/g（ξ）=f″（ξ）/g″（ξ），即f（ξ）g″（ξ）-f″（ξ）g（ξ）=0 60
题型1.2.7.9 证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）＋g′（ξ）[f（ξ）-bξ]=b 61
题型1.2.7.1 0证明与定积分有关的中值等式 62
1.2.8 拉格朗日中值定理的应用 63
题型1.2.8.1 证明与函数改变量（增量）有关的中值（不）等式 64
题型1.2.8.2 证明函数与其导数的关系 64
题型1.2.8.3 求解与函数差值有关的问题 66
题型1.2.8.4 证明多个中值所满足的中值等式 66
题型1.2.8.5 求中值的极限位置 67
1.2.9 利用柯西中值定理证明中值等式 68
题型1.2.9.1 证明两函数差值（增量）比的中值等式 68
题型1.2.9.2 证明两函数导数比的中值等式 68
1.2.10 泰勒定理的两点应用 69
题型1.2.10.1 证明与高阶导数有关的中值（不）等式 70
题型1.2.10.2 计算按常规方法不好求的未定式极限 71
1.2.11 利用导数证明不等式 71
题型1.2.11.1 证明函数不等式 72
题型1.2.11.2 证明数值不等式 77
1.2.12 讨论函数的性态 77
题型1.2.2.1 证明函数在区间Ⅰ上是一个常数 77
题型1.2.12.2 证明（判别）函数的单调性 78
题型1.2.12.3 讨论函数是否取得极值 78
题型1.2.12.4 利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点 80
题型1.2.12.5 求曲线凹凸区间与拐点 80
题型1.2.12.6 求函数的单调区间、极值、最值 83
题型1.2.12.7 求曲线的渐近线 85
1.2.13 利用函数性态讨论方程的根 86
题型1.2.13.1 讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数 86
题型1.2.13.2 讨论含参数的方程实根的存在性及其个数 87
1.2.14 函数性态与函数图形 88
题型1.2.14.1 利用函数性态作函数图形 88
题型1.2.14.2 利用函数的图形′确定其导函数的图形 89
题型1.2.14.3 利用导函数的图形′确定原来函数的性态 90
1.2.15 一元函数徽分学的应用 90
题型1.2.15.1 求平面曲线的切线方程和法线方程 90
题型1.2.15.2 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题 92
题型1.2.15.3 求解与两曲线相切的有关问题 92
题型1.2.15.4 求解与平面曲线的曲率有关的问题 93
1.3 一元函数积分学 94
1.3.1 原函傲与不定积分的关系 94
题型1.3.1.1 原函数的概念及其判定 94
题型1.3.1.2 求分段函数的原函数或不定积分 95
题型1.3.1.3 利用积分运算与微分运算的互逆关系求解与原函数有关的问题 95
1.3.2 各类被积函数不定积分的算法 96
题型1.3.2.1 求被积函数为f（x）/g（x）的不定积分，其中f（x）＝g′（x）或f′（x）＝1/g（x） 96
题型1.3.2.2 计算被积表达式中出现或可化为f（？（x））和？′（x）dx乘积的不定积分 97
题型1.3.2.3 计算被积函数仅为一类函数或为两类不同函数乘积的不定积分 98
题型1.3.2.4 计算简单无理函数的不定积分 99
题型1.3.2.5 求∫1／（ax＋b）k f（1/（ax＋b）k-1）dx,其中k≠l为正实数 102
题型1.3.2.6 求被积函数的分母为或可化为相差常数的两函数乘积的积分 102
题型1.3.2.7 求三角函数的不定积分 103
题型1.3.2.8 求被积函数含复合对数函数或复合反三角函数为因子函数的积分 104
题型1.3.2.9 有理分式函数∫P（x）／Q（x）dx（其中P（x）,Q（x）为多项式）的积分算法 104
1.3.3 利用定积分性质计葬定积分 106
题型1.3.3.1 利用其几何意义计算定积分 106
题型1.3.3.2 计算对称区间上的定积分 107
题型1.3.3.3 计算周期函数的定积分 109
题型1.3.3.4 利用定积分的常用计算公式计算定积分 110
题型1.3.3.5 计算被积函数含函数导数的积分 111
题型1.3.3.6 比较和估计定积分的大小 113
题型1.3.3.7 求解含积分值为常数的函数方程 114
题型1.3.3.8 计算几类须分子区间积分的定积分 114
题型1.3.3.9 计算含参数的定积分\ 116
题型1.3.3.10 计算需换元计算的定积分 117
题型1.3.3.11 求由定积分表示的变量极限 117
1.3.4 求解与变限积分有关的问题 117
题型1.3.4.1 计算含变限积分的极限 118
题型1.3.4.2 求变限积分的导数 120
题型1.3.4.3 求变限积分的定积分 122
题型1.3.4.4 讨论变限积分函数的性态 123
1.3.5 证明定积分等式 124
题型1.3.5.1 证明定积分的变换公式 124
题型1.3.5.2 证明含定积分的中值等式 125
1.3.6 证明定积分不等式 126
题型1.3.6.1 证明积分限相等时不等式两端成为零的积分不等式 126
题型1.3.6.2 证明f（x）dx（或|∫b a f（x）dx|）≤k（或≥k），k为常数 127
题型1.3.6.3 证明题设中有二阶导数大（或小）于等于零的定积分不等式 128
1.3.7 计算反常积分 129
题型1.3.7.1 计算无穷区间上的反常积分 129
题型1.3.7.2 判别无界函数的反常积分的敛散性，如收敛计算其值 132
题型1.3.7.3 判别混合型反常积分的敛散性，如收敛计算其值 133
1.3.8 定积分的应用 135
题型1.3.8.1 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积 135
题型1.3.8.2 已知曲线所围平面图形的面积（或其旋转体体积）反求该曲线 136
题型1.3.8.3 计算平面曲线的弧长 136
题型1.3.8.4 计算平行截面面积已知的立体体积 137
题型1.3.8.5 求旋转体体积 137
题型1.3.8.6 求旋转体的侧（表）面积 140
题型1.3.8.7 求解几何应用与最值问题相结合的应用题 141
题型1.3.8.8 计算变力所做的功 142
题型1.3.8.9 计算液体的侧压力 143
题型1.3.8.10 计算细杆对质点的引力 143
题型1.3.8.11 计算函数在区间上的平均值 144
1.4 向量代数和空间解析几何 145
1.4.1 向量代数及其简单应用 145
题型1.4.1.1 用坐标表达式进行向量运算 145
题型1.4.1.2 计算向量的数量积、向量积、混合积 146
题型1.4.1.3 利用向量运算证明（确定）向量关系 148
1.4.2 求平面方程 148
题型1.4.2.1 求过已知点的平面方程 149
题型1.4.2.2 求过已知直线的平面方程 150
题型1.4.2.3 根据平面在坐标轴上的相对位置求其方程 150
题型1.4.2.4 求过两平面交线的平面方程 151
1.4.3 求直线方程 152
题型1.4.3.1 求过已知点的直线方程 152
题型1.4.3.2 求过已知点且与已知直线相交的直线方程 153
题型1.4.3.3 求与两直线相交的直线方程 154
题型1.4.3.4 求直线在平面上的投影直线方程 155
1.4.4 讨论直线与平面的位置关系 155
题型1.4.4.1 讨论平面间的位置关系 155
题型1.4.4.2 讨论直线与直线的位置关系 157
题型1.4.4.3 讨论直线与平面的位置关系 157
1.4.5 求点到平面或到直线的距离 158
题型1.4.5.1 求点到平面的距离 158
题型1.4.5.2 求点到直线的距离 160
1.4.6 求二次曲面方程和空间曲线在坐标面上的投影方程 161
题型1.4.6.1 求坐标面上曲线绕坐标轴旋转所得的旋转曲面方程 161
题型1.4.6.2 求空间曲线绕坐标轴旋转所得的曲面方程 161
题型1.4.6.3 求母线平行于坐标轴的柱面方程 162
题型1.4.6.4 求空间曲线在坐标面上的投影方程 163
1.4.7 求解空间解析几何与线性代数、微积分相结合的综合题 164
1.5 多元函数微分学及其应用 167
1.5.1 正确理解二元函数连续、可偏导及可微之间的关系 167
题型1.5.1.1 依定义判别二元函数在某点是否连续、可偏导及可微 167
题型1.5.1.2 判别二元函数连续、可偏导、可微之间的关系 169
1.5.2 计算多元函数的偏导数和全微分 170
题型1.5.2.1 利用隐函数存在定理确定隐函数 170
题型1.5.2.2 求抽象复合函数的偏导数 170
题型1.5.2.3 计算隐函数的导数 173
题型1.5.2.4 求方向导数和梯度 175
题型1.5.2.5 求二元函数的全微分 177
1.5.3 多元函数微分学的应用 177
题型1.5.3.1 已知空间曲线的参数方程，求其切线或法平面方程 177
题型1.5.3.2 已知空间曲线为两曲面的交线，求其切线或法平面方程 178
题型1.5.3.3 已知空间曲面方程，求其切平面或法线方程 180
题型1.5.3.4 求二元函数的极值和最值 181
题型1.5.3.5 求二（多）元函数的条件极值 184
1.6 多元函数积分学 186
1.6.1 利用区域的对称性化简多元函数的积分 186
题型1.6.1.1 计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分 186
题型1.6.1.2 计算积分区域关于直线y=x对称的二重积分 188
题型1.6.1.3 计算积分区域具有轮换对称性的三重积分 189
题型1.6.1.4 计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分 189
题型1.6.1.5 计算平面积分曲线关于y=x对称的第一类曲线积分 190
题型1.6.1.6 计算空间积分曲线（曲面）具有轮换对称性的第一类曲线（曲面）积分 190
1.6.2 交换积分次序及转换二次积分 191
题型1.6.2.1 交换二次积分的积分次序 191
题型1.6.2.2 转换二次积分 192
1.6.3 计算二重积分 194
题型1.6.3.1 计算被积函数分区域给出的二重积分 194
题型1.6.3.2 计算圆域或部分圆域上的二重积分 195
1.6.4 计算三重积分 197
题型1.6.4.1 计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分 197
题型1.6.4.2 计算积分区域为旋转体的三重积分 197
题型1.6.4.3 计算积分区域由球面或球面与锥面所围成的三重积分 198
题型1.6.4.4 计算被积函数至少缺两个变量的三重积分 199
题型1.6.4.5 计算易求出其截面区域上的二重积分的三重积分 200
1.6.5 计算曲线积分 201
题型1.6.5.1 计算第一类平面曲线积分 201
题型1.6.5.2 求解平面上与路径无关的第二类曲线积分有关问题 202
题型1.6.5.3 计算平面上与路径有关的第二类曲线积分 205
题型1.6.5.4 计算空间第二类曲线积分 208
题型1.6.5.5 计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分 210
1.6.6 计算曲面积分 211
题型1.6.6.1 计算第一类曲面积分 211
题型1.6.6.2 计算第二类曲面积分 215
题型1.6.6.3 计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分 221
题型1.6.6.4 已知第二类曲面积分的值，求被积式中的未知函数 222
1.6.7 多元函数积分学的应用 222
题型1.6.7.1 计算空间曲线的弧长 222
题型1.6.7.2 求曲面面积 223
题型1.6.7.3 计算立体体积 224
题型1.6.7.4 求质量、质心、形心及转动惯量 226
题型1.6.7.5 计算变力沿曲线所做的功 229
题型1.6.7.6 计算物体对质点的引力 231
题型1.6.7.7 计算向量场的散度与流量（通量） 232
题型1.6.7.8 计算向量场的旋度与环流量 233
1.7 级数 235
1.7.1 判别三类常数项级数的敛散性 235
题型1.7.1.1 判别正项级数的敛散性 235
题型1.7.1.2 判别交错级数的敛散性 239
题型1.7.1.3 判别任意项级数的敛散性 242
1.7.2 证明常数项级数的敛散性 244
题型1.7.2.1 证明一般项为或可化为相邻两项代数和的级数的敛散性 244
题型1.7.2.2 已知一级数收敛，证明相关级数收敛 245
题型1.7.2.3 已知一般项有极限，证明该级数的敛散性 246
题型1.7.2.4 证明（判别）一般项为（含）定积分的级数的敛散性 246
题型1.7.2.5 证明一般项用递推关系式给出的级数的敛散性 247
题型1.7.2.6 已知函数高阶可导，证明由该函数值组成的级数的敛散性 247
1.7.3 幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法 248
1.7.4 求幂级数与数项级数的和 250
题型1.7.4.1 求∞∑n＝1 P（n）xn的和函数，P（n）为n的多项式 250
题型1.7.4.2 求∞∑n＝0 1／Q（n） xn的和函数，Q（n）为n的多项式 252
题型1.7.4.3 求含阶乘因子的幂级数的和函数 254
题型1.7.4.4 求数项级数的和 256
1.7.5 将简单函数间接展开成幂级数 259
题型1.7.5.1 求反三角函数的幂级数展开式 259
题型1.7.5.2 将对数函数展成幂级数 260
题型1.7.5.3 将有理分式函数展成幂级数 260
题型1.7.5.4 将三角函数展成幂级数 261
题型1.7.5.5 利用幂级数展开式求函数的高阶导数 261
1.7.6 傅里叶级数 261
题型1.7.6.1 将周期函数展为傅里叶级数 261
题型1.7.6.2 求傅里叶系数 266
题型1.7.6.3 求傅里叶级数的和函数在某点的值 267
1.8 常微分方程 268
1.8.1 求解一阶线性微分方程 268
题型1.8.1.1 求解可分离变量的微分方程 268
题型1.8.1.2 求解齐次方程 269
题型1.8.1.3 求解一阶线性方程 270
题型1.8.1.4 求解几类可化为一阶线性方程的方程 270
题型1.8.1.5 求解方程P（x，y）dx＋Q（x，y）dy=0 272
题型1.8.1.6 求解由变量的增量关系给出的一阶方程 274
题型1.8.1.7 求满足某种性质的一阶微分方程的特解 274
1.8.2 求解线性微分方程 276
题型1.8.2.1 利用线性微分方程解的结构和性质求解有关问题 276
题型1.8.2.2 求解可降阶的二阶微分方程 277
题型1.8.2.3 求解高阶常系数齐次线性方程 278
题型1.8.2.4 求解二阶常系数非齐次线性方程 280
题型1.8.2.5 变换已知的微分方程为新的形式，并求其解 283
题型1.8.2.6 求解欧拉方程 284
题型1.8.2.7 求解含变限积分的方程 285
题型1.8.2.8 求解可化为一阶线性微分方程的函数方程 286
1.8.3 已知特解反求其常系数线性方程 286
题型1.8.3.1 已知特解反求其齐次方程 286
题型1.8.3.2 已知特解反求其非齐次方程 287
1.8.4 用微分方程求解几何和物理中的简单应用题 288