第1章 典型方程与定解条件 1
1.1 波动方程的导出 1
1.1.1 弦振动方程 1
1.1.2 时变电磁场方程 3
1.2 热传导方程的导出 4
1.3 稳定场方程的导出 6
1.3.1 稳定问题 6
1.3.2 谐变电磁场方程 7
1.3.3 引力位与重力位方程 7
1.4 边界条件与初始条件 8
1.5 定解问题的提法 10
1.5.1 定解问题及其适定性 10
1.5.2 线性偏微分方程解的叠加性 11
1.6 二阶线性偏微分方程的分类 11
1.6.1 变系数线性偏微分方程 12
1.6.2 常系数线性偏微分方程 16
习题1 18
第2章 分离变量法 19
2.1 有界弦的自由振动 19
2.2 有限长杆上的热传导 26
2.2.1 第一类边界条件的热传导问题 26
2.2.2 对流边界条件的热传导问题 30
2.3 二维位势方程 33
2.3.1 矩形域内的二维位势方程 33
2.3.2 圆域内的二维位势方程 37
2.4 多于两个自变量的定解问题 40
2.5 非齐次方程的解法 44
2.5.1 两端固定弦的强迫振动 44
2.5.2 稳定问题的非齐次方程 47
2.6 非齐次边界条件的处理 50
2.7 本征函数系及其正交性 56
2.7.1 一维本征函数系 56
2.7.2 二维本征函数系 58
2.7.3 本征函数的正交性 59
习题2 60
第3章 波动方程的行波法 63
3.1 无界弦的自由振动 63
3.1.1 达朗贝尔解的计算公式 63
3.1.2 达朗贝尔解的物理意义 68
3.2 半无界弦的自由振动 74
3.3 有界弦的自由振动 80
3.4 高维波动方程的柯西问题 82
习题3 84
第4章 积分变换法 87
4.1 傅里叶积分与傅里叶变换 87
4.1.1 傅里叶积分 87
4.1.2 傅里叶变换 88
4.2 傅里叶变换的基本性质 88
4.3 傅里叶变换法求解定解问题 91
4.3.1 弦振动问题 91
4.3.2 热传导问题 94
4.3.3 稳定场问题 97
4.4 拉普拉斯变换 100
4.5 拉普拉斯变换的基本性质 101
4.6 拉普拉斯变换法求解定解问题 103
4.6.1 无界区域的问题 103
4.6.2 半无界区域的问题 105
4.6.3 有界区域的问题 109
习题4 113
第5章 格林函数法 115
5.1 δ函数 115
5.2 格林函数 118
5.2.1 格林公式 118
5.2.2 格林函数的概念 119
5.2.3 格林函数的互易性 121
5.3 稳定问题的格林函数法 121
5.4 热传导方程的格林函数法 125
5.4.1 无界空间的热传导问题 125
5.4.2 有界空间的热传导问题 126
5.5 波动方程的格林函数法 129
5.5.1 无界空间的波动方程 129
5.5.2 有界空间的波动方程 130
习题5 132
第6章 有限差分法 134
6.1 有限差分法基础 134
6.2 稳定场方程的差分解法 135
6.2.1 一维稳定场方程的差分解法 135
6.2.2 二维稳定场方程的差分解法 137
6.3 热传导方程的差分解法 144
6.4 波动方程的差分解法 154
习题6 157
第7章 有限单元法 160
7.1 加权余量法 160
7.1.1 加权余量的概念 160
7.1.2 Galerkin法 160
7.1.3 Galerkin法的加权余量表达式 162
7.2 插值函数的构造 163
7.2.1 长度坐标的定义 164
7.2.2 插值函数 164
7.2.3 单元积分 167
7.3 稳定场问题的有限元解法 169
7.4 热传导方程的有限元解法 175
7.5 波动方程的有限元解法 179
习题7 186
第8章 贝塞尔函数 188
8.1 贝塞尔方程的引出 188
8.2 贝塞尔方程的求解 189
8.2.1 非整数阶贝塞尔方程的解 190
8.2.2 整数阶贝塞尔方程的解 192
8.3 贝塞尔函数的递推公式 193
8.4 函数展成贝塞尔函数的级数 195
8.4.1 贝塞尔函数的零点 195
8.4.2 贝塞尔函数的正交性 199
8.4.3 Fourier-Bessel级数 201
8.5 贝塞尔函数的应用 203
8.5.1 圆盘域波动方程 203
8.5.2 圆盘域热传导方程 206
8.5.3 圆柱形域拉普拉斯方程 208
8.6 贝塞尔函数的其他类型 211
8.6.1 第三类贝塞尔函数 211
8.6.2 虚宗量的贝塞尔函数 212
8.6.3 开尔文函数 215
8.7 贝塞尔函数的渐近公式 215
习题8 216
第9章 勒让德函数 218
9.1 勒让德方程的引出 218
9.2 勒让德方程的求解 220
9.3 勒让德多项式的性质 222
9.3.1 勒让德函数的引出 222
9.3.2 勒让德多项式的递推公式 226
9.3.3 勒让德多项式的奇偶性 227
9.3.4 勒让德多项式的正交性 227
9.3.5 傅里叶-勒让德级数 227
9.4 勒让德函数的应用 231
9.5 连带勒让德多项式 235
9.6 球谐函数 238
习题9 242
第10章 地球物理中的应用实例 243
10.1 位场拉普拉斯方程的解 243
10.1.1 直角坐标系中拉普拉斯方程的解 243
10.1.2 球坐标系中拉普拉斯方程的解 244
10.2 大地电磁正演模拟 245
10.2.1 有限差分法分析 245
10.2.2 有限单元法分析 253
10.3 特殊函数的地球物理应用 256
习题10 260
附录 261
附录A Γ函数（Gamma函数） 261
附录B Fourier变换表 263
附录C Laplace变换表 264
参考文献 266