第一部分 高维微分学 1
第一章 向量值映照的背景 3
1.1知识要素 3
1.1.1向量值映照 3
1.1.2范数与距离 4
1.1.3 Euclid空间中的点列 4
1.2应用事例 7
1.2.1极坐标系 7
1.2.2柱坐标系 7
1.2.3球坐标系 9
1.2.4椭圆柱坐标系 9
1.2.5双极柱坐标系 12
1.3拓广深化 13
1.4建立路径 16
第二章 向量值映照的极限 17
2.1知识要素 17
2.1.1向量值映照极限的定义 17
2.1.2向量值映照极限的分析性质 20
2.1.3向量值映照极限的计算方法 23
2.1.4 Euclid空间中点集拓扑基础 26
2.2应用事例 35
2.2.1基于路径分析 35
2.2.2基于极坐标分析 38
2.2.3累次极限 39
2.3建立路径 40
第三章 向量值映照的可微性与导数的计算方法 42
3.1知识要素 42
3.1.1向量值映照的可微性定义 42
3.1.2方向导数 46
3.1.3高阶偏导数 46
3.1.4导数计算的充分性方法 47
3.1.5导数计算的极限分析方法 51
3.2应用事例 53
3.2.1导数计算的充分性方法 53
3.2.2导数计算的极限分析方法 58
3.2.3矩阵形式的链式求导 66
3.3拓广深化 67
3.3.1单参数向量值映照的变化率 67
3.3.2单参数单位正交基的变化率 71
3.3.3速度与加速度等合成原理 73
3.3.4角速度与角速度合成原理 73
3.3.5单位正交基下速度与加速度的表示 76
3.4建立路径 82
第四章 基于直线单参数化的相关分析结论 84
4.1知识要素 84
4.1.1直线单参数化 84
4.1.2多元函数可微性的一个充分性条件 85
4.1.3多元函数混合偏导数可以交换次序的一个充分性条件 87
4.2建立路径 90
第五章 无限小分析方法 92
5.1知识要素 92
5.1.1基于直线单参数化获得无限小增量公式 92
5.1.2多项式逼近的唯一性 95
5.1.3获得多元高阶多项式逼近的实际方法 99
5.1.4自由最值问题 101
5.1.5多元函数展开至二阶的几何意义 103
5.2应用事例 105
5.2.1自由最值问题 105
5.2.2获得复杂函数的多元高阶多项式逼近 106
5.3建立路径 113
第六章 有限增量公式或估计 115
6.1知识要素 115
6.1.1基于直线单参数化的多元函数的有限增量公式 115
6.1.2基于曲线单参数化的多元函数的有限增量估计 116
6.1.3基于曲线单参数化的向量值映照的有限增量估计 117
6.2建立路径 118
第七章 曲线向量值映照 119
7.1知识要素 119
7.1.1曲线的切向量与切线 119
7.1.2曲线的局部标架与其运动方程 120
7.1.3曲线的局部参数化 124
7.2应用事例 125
7.3建立路径 126
第八章 曲面向量值映照 127
8.1知识要素 127
8.1.1曲面的切平面与法向量 127
8.1.2曲面的基本形式 129
8.1.3曲面的Gauss曲率与平均曲率 130
8.1.4曲面的局部标架与其运动方程 132
8.1.5曲面的法截线与主法截线 134
8.1.6曲面的局部参数化 136
8.2应用事例 138
8.2.1二维Monge型曲面的Gauss曲率及平均曲率 138
8.2.2旋成曲面的Gauss曲率及平均曲率 141
8.3建立路径 142
第九章 隐映照定理 144
9.1知识要素 144
9.1.1 Euclid空间中闭集上的压缩映照定理 144
9.1.2由压缩映照定理获得隐映照定理 145
9.1.3隐函数导数的计算方法 150
9.2应用事例 151
9.2.1隐函数的导数计算 151
9.2.2隐映照的导数计算 158
9.3拓广深化 165
9.3.1基于压缩映照定理研究动力系统的解的存在性 165
9.3.2基于压缩映照定理研究动力系统的解对初值的连续依赖性 167
9.4建立路径 169
第十章 隐映照定理的应用（曲线与曲面的隐式表示） 170
10.1知识要素 170
10.1.1隐映照定理 170
10.1.2曲线的隐式表示 171
10.1.3曲面的隐式表示 172
10.2应用事例 173
10.2.1曲线的隐式表示 173
10.2.2曲面的隐式表示 181
10.3建立路径 192
第十一章 隐映照定理的应用（约束上的最值问题） 194
11.1知识要素 194
11.1.1隐映照定理 194
11.1.2约束上最值问题 195
11.1.3 Lagrange乘子法 200
11.2应用事例 201
11.2.1约束上最值问题 201
11.2.2利用约束最值获得不等式 208
11.3建立路径 212
第十二章 逆映照定理与微分同胚 214
12.1知识要素 214
12.1.1由隐映照定理获得逆映照定理 214
12.1.2由压缩映照定理获得逆映照定理 216
12.1.3微分同胚 219
12.2拓广深化 222
12.2.1秩 定理 222
12.2.2秩定理的应用——函数相关性与无关性 226
12.2.3 Morse定理 229
12.2.4 Morse定理的应用——平面曲线奇点的类别 233
12.2.5曲面的流形观点解释 239
12.3建立路径 247
第十三章 隐映照定理与逆映照定理的综合应用 249
13.1知识要素 249
13.1.1变换方程 249
13.1.2 Frobenius定理 251
13.1.3基于曲面的半正交系 262
13.2应用事例 265
13.2.1变换方程——仅有自变量变换 265
13.2.2变换方程——既有自变量变换又有因变量变换 269
13.2.3 Frobenius定理——直接推导Pfaff方程 272
13.3建立路径 280
第二部分 高维积分学 281
第十四章 积分应用理论 283
14.1知识要素 283
14.1.1曲线上的积分 283
14.1.2曲面上的积分 289
14.2建立路径 298
第十五章 积分分析理论（ Darboux和分析） 300
15.1知识要素 300
15.1.1闭方块上有界函数的Darboux和分析 300
15.1.2闭方块上Riemann可积的等价性叙述 304
15.1.3闭方块上Riemann可积的函数 305
15.2应用事例 309
15.3建立路径 311
第十六章 积分分析理论（Lebesgue定理） 312
16.1知识要素 312
16.1.1 Lebesgue零测集 312
16.1.2函数在某一点的振幅 314
16.1.3 Cantor定理 315
16.1.4 Lebesgue定理/判别法 316
16.1.5允许集上Riemann积分的定义 319
16.2应用事例 320
16.3建立路径 320
第十七章 计算理论（F ubini定理） 321
17.1知识要素 321
17.1.1 Fubini定理 321
17.1.2典型积分域上的积分 325
17.2应用事例 328
17.3建立路径 330
第十八章 计算理论（体积分换元公式） 331
18.1知识要素 331
18.1.1微分同胚映照下的相关结论 331
18.1.2简单微分同胚的相关结论 335
18.1.3体积分换元公式 339
18.2应用事例 345
18.2.1基本理论 345
18.2.2平面极坐标系变换 345
18.2.3柱坐标系变换 347
18.2.4球坐标系变换 350
18.2.5正交变换 365
18.2.6一般区域变换 368
18.2.7广义球坐标系变换 372
18.2.8角区与带形区域变换 373
18.3建立路径 376
第十九章 广义积分与含参变量的积分 377
19.1知识要素 377
19.1.1广义积分的定义 377
19.1.2判定广义积分敛散性的计算方法 378
19.1.3含参变量的积分 380
19.2拓广深化 382
19.2.1计算一阶变分 382
19.2.2计算二阶变分 384
19.3应用事例 385
19.3.1计算广义积分 385
19.3.2利用含参变量的积分计算相关积分 394
19.3.3计算变分 400
19.4建立路径 402
第二十章Gauss-Ostrogradskii公式 403
20.1知识要素 403
20.1.1延拓形式的Newton-Leibniz公式 403
20.1.2 Gauss-Ostrogradskii公式的原型 404
20.1.3 Gauss-Ostrogradskii公式的应用形式 406
20.2应用事例 407
20.3建立路径 410
第二十一章Green公式 412
21.1知识要素 412
21.1.1平面区域边界的定向 412
21.1.2由Gauss-Ostrogradskii公式获得Green公式 415
21.2应用事例 417
21.3建立路径 421
第二十二章Stokes公式 422
22.1知识要素 422
22.1.1简单正则曲面及其定向 422
22.1.2简单正则曲面的边界及其定向 422
22.1.3 Stokes公式 424
22.2应用事例 429
22.3建立路径 432
第二十三章 场论基础 433
23.1知识要素 433
23.1.1微分关系式 433
23.1.2积分关系式 445
23.1.3数学物理中的有关积分 448
23.1.4无旋向量场的势函数 455
23.2应用事例 456
23.2.1基于典则基下的展开推导微分恒等式 456
23.2.2基于体积局部基下的展开推导体积上微分恒等式 459
23.2.3基于曲面局部基下的展开推导曲面上微分恒等式 460
23.2.4单位正交基下微分算子的表示 462
23.2.5无旋向量场的势函数 479
23.3建立路径 480
第三部分 级数 482
第二十四章 正项数项级数 484
24.1知识要素 484
24.1.1比较的思想 484
24.1.2相关结论 485
24.1.3上下极限的定义与其基本性质 490
24.2应用事例 494
24.2.1直接展开 494
24.2.2比值展开 503
24.2.3根式形式 508
24.3建立路径 512
第二十五章 一般数项级数 514
25.1知识要素 514
25.1.1数项级数收敛的Cauchy收敛原理 514
25.1.2 Abel和式与Abel估计 514
25.1.3数项级数的Abel-Dirichlet判别法 515
25.1.4数项级数的基本分析性质 515
25.2应用事例 518
25.2.1交叉级数 518
25.2.2直接展开 519
25.2.3比值展开 525
25.2.4一般方法 532
25.3建立路径 534
第二十六章 函数项级数 536
26.1知识要素 536
26.1.1点点收敛与一致收敛的概念 536
26.1.2一致收敛的Cauchy收敛原理 537
26.1.3基于一致收敛的分析性质 537
26.1.4研究一致收敛性的若干方法 542
26.2应用事例 545
26.2.1判定函数序列的一致收敛性 545
26.2.2判定函数项级数的一致收敛性 549
26.3拓广深化 556
26.3.1基于Picared迭代研究动力系统的解的存在性 556
26.3.2基于Picared迭代研究动力系统的解对初值的可微依赖性 558
26.4建立路径 560
第二十七章 幂级数 562
27.1知识要素 562
27.1.1幂级数的收敛半径及收敛域 562
27.1.2幂级数的分析性质 563
27.1.3获得复杂函数的幂级数表示 565
27.2应用事例 566
27.2.1求幂级数收敛半径及收敛域 566
27.2.2获得幂级数的和函数 576
27.2.3获得复杂函数的幂级数展开 582
27.2.4利用幂级数求级数的和 591
27.3建立路径 594
第二十八章Fourier级数 595
28.1知识要素 595
28.1.1 Fourier级数的点收敛观点 595
28.1.2 Fourier级数的内积观点 597
28.2应用事例 599
28.3建立路径 602
名词索引 603
插图目录 609
参考文献 615