第1章 引言 1
1.1 本章重点 1
1.2 关于卡尔曼滤波 1
1.2.1 第一个问题：什么是卡尔曼滤波器 1
1.2.2 为什么被称为滤波器 2
1.2.3 卡尔曼滤波的数学基础 3
1.2.4 卡尔曼滤波的应用 3
1.3 关于最优化估计方法 4
1.3.1 最优估计理论的出现 4
1.3.2 最小二乘方法 6
1.3.3 不确定性的数学模型 10
1.3.4 Wiener-Kolmogorov滤波器 11
1.3.5 卡尔曼滤波器 12
1.3.6 实现方法 15
1.3.7 非线性近似 19
1.3.8 真实非线性估计 20
1.3.9 监视中的检测问题 21
1.4 常用符号 21
1.4.1 导数的“点”符号 21
1.4.2 卡尔曼滤波器变量的标准符号 21
1.4.3 数组维数的常用符号 22
1.5 本章小结 23
习题 24
参考文献 26
第2章 线性动态系统 29
2.1 本章重点 29
2.1.1 更大的示意图 29
2.1.2 动态系统模型 31
2.1.3 涵盖要点 31
2.2 确定性动态系统模型 32
2.2.1 微分方程表示的动态系统模型 32
2.2.2 牛顿模型 32
2.2.3 确定性系统的状态变量和状态方程 35
2.2.4 连续时间和离散时间 36
2.2.5 时变系统和时不变系统 36
2.3 连续线性系统及其解 36
2.3.1 线性动态系统的输入输出模型 36
2.3.2 动态系数矩阵及输入耦合矩阵 37
2.3.3 高阶导数的伴随形式 37
2.3.4 输出和测量灵敏度矩阵 38
2.3.5 差分方程和状态转移矩阵（STM） 38
2.3.6 求解微分方程得到STM 39
2.3.7 非齐次方程的解 42
2.3.8 时不变系统的闭式解 42
2.3.9 时变系统 45
2.4 离散线性系统及其解 45
2.4.1 离散线性系统 45
2.4.2 时不变系统的离散时间解 46
2.5 线性动态系统模型的可观测性 47
2.5.1 如何确定动态系统模型是否可观测 47
2.5.2 时不变系统的可观测性 47
2.5.3 时不变线性系统的可控性 49
2.6 本章小结 50
习题 52
参考文献 54
第3章 概率与期望 55
3.1 本章重点 55
3.2 概率论基础 56
3.2.1 测度论 56
3.2.2 概率测度 56
3.2.3 概率分布 57
3.2.4 概率密度函数 58
3.2.5 累积概率函数 59
3.3 期望 59
3.3.1 线性泛函 59
3.3.2 期望算子 59
3.3.3 概率分布的矩 60
3.4 最小均方估计（LMSE） 66
3.4.1 平方估计误差 66
3.4.2 最小化 66
3.4.3 最小均方估计误差 67
3.4.4 均值和协方差：需要记住的矩 69
3.4.5 脱靶距离的其他测量方法 70
3.5 变量变换 70
3.5.1 线性变换 71
3.5.2 利用解析函数的变换 73
3.5.3 概率密度函数的变换 76
3.6 统计中的矩阵迹 77
3.6.1 协方差和均方幅度之间的关系 77
3.6.2 线性泛函 77
3.6.3 迹中的矩阵乘积互换 78
3.6.4 卡方检验 79
3.6.5 Schweppe似然比检测 79
3.6.6 多假设检验 80
3.7 本章小结 80
习题 81
参考文献 83
第4章 随机过程 84
4.1 本章重点 84
4.1.1 涵盖要点 84
4.1.2 未涉及的内容 85
4.2 随机变量、随机过程和随机序列 85
4.2.1 历史背景 85
4.2.2 定义 86
4.3 统计特性 86
4.3.1 独立同分布过程 86
4.3.2 随机过程的均值 87
4.3.3 时间相关和协方差 88
4.3.4 不相关和正交随机过程 89
4.3.5 严格平稳与广义平稳 90
4.3.6 遍历随机过程 90
4.3.7 马尔可夫过程和序列 90
4.3.8 高斯随机过程 91
4.3.9 模拟多变量高斯过程 91
4.3.10 功率谱密度 92
4.4 线性随机过程模型 94
4.4.1 RP的随机微分方程 95
4.4.2 随机序列（RS）的离散时间模型 97
4.4.3 自回归过程和线性预测模型 99
4.5 成型滤波器（SF）和状态增广 99
4.5.1 相关过程噪声模型 100
4.5.2 相关测量噪声模型 100
4.6 均值和协方差传播 103
4.6.1 均值传播 103
4.6.2 协方差传播 104
4.6.3 稳态解 106
4.6.4 结果 107
4.7 模型参数之间的关系 110
4.7.1 连续模型和离散模型的参数 110
4.7.2 Q（t）与Qk-1之间的关系 111
4.7.3 R（t）和Rk之间的关系 116
4.8 正交原理 117
4.8.1 最小期望二次损失函数估计子 117
4.8.2 正交原理 118
4.8.3 正交的几何解释 120
4.9 本章小结 120
4.9.1 需要记忆的要点 120
4.9.2 需要记忆的重要公式 121
习题 122
参考文献 127
第5章 线性最优滤波器和预测器 128
5.1 本章重点 128
5.1.1 估计问题 128
5.1.2 涵盖要点 128
5.2 卡尔曼滤波器 130
5.2.1 系统状态估计子的观测更新问题 130
5.2.2 线性估计子 130
5.2.3 求解卡尔曼增益 130
5.2.4 利用高斯最大似然方法得到卡尔曼增益 133
5.2.5 根据递归线性LMS估计子得到卡尔曼增益 139
5.2.6 离散时间卡尔曼估计子的公式汇总 143
5.2.7 将误差不相关的向量测量值视为标量 147
5.2.8 利用协方差方程进行设计分析 149
5.3 卡尔曼-布西滤波器 149
5.4 最优线性预测器 151
5.4.1 预测作为滤波 151
5.4.2 考虑丢失数据的影响 152
5.5 相关噪声源 152
5.5.1 设备噪声与测量噪声之间的相关 152
5.5.2 时间相关测量值 152
5.6 卡尔曼滤波器和维纳滤波器之间的关系 153
5.7 二次损失函数 153
5.7.1 估计误差的二次损失函数 153
5.7.2 二次损失函数的期望值 154
5.7.3 无偏估计与二次损失 155
5.8 矩阵Riccati微分方程 155
5.8.1 转化为线性方程 155
5.8.2 时不变问题 157
5.8.3 标量时不变问题 157
5.8.4 标量时不变解的参数依赖性 160
5.8.5 收敛问题 161
5.8.6 代数Riccati方程的闭式解 162
5.8.7 代数Riccati微分方程的Newton-Raphson解 163
5.8.8 MacFarlane-Potter-Fath特征结构方法 165
5.9 离散时间矩阵Riccati方程 166
5.9.1 矩阵分数传播的线性方程 166
5.9.2 先验协方差的矩阵分数传播 167
5.9.3 标量时不变情形的闭式解 168
5.9.4 MacFarlane-Potter-Fath特征结构方法 169
5.10 变换状态变量的模型方程 170
5.10.1 状态变量的线性变换 170
5.10.2 新的模型方程 170
5.11 应用实例 171
5.12 本章小结 175
5.12.1 需要记忆的要点 175
5.12.2 需要记忆的重要公式 176
习题 177
参考文献 179
第6章 最优平滑器 182
6.1 本章重点 182
6.1.1 平滑和平滑器 182
6.1.2 卡尔曼滤波、预测、插值和平滑 182
6.1.3 平滑器的类型 183
6.1.4 实现算法 184
6.1.5 平滑器的应用 184
6.1.6 与滤波相比的改善之处 185
6.2 固定区间平滑 187
6.2.1 连续时间性能分析 187
6.2.2 三通道固定区间平滑 192
6.2.3 Rauch-Tung-Striebel（RIS）两通道平滑器 194
6.3 固定滞后平滑 195
6.3.1 早期方法的稳定性问题 195
6.3.2 性能分析 196
6.3.3 Biswas-Mahalanabis固定滞后平滑器（BMFLS） 197
6.4 固定点平滑 205
6.4.1 性能分析 205
6.4.2 离散时间固定点平滑器 210
6.5 本章小结 210
6.5.1 平滑 210
6.5.2 平滑对滤波性能的改善 211
6.5.3 其他信息资源 211
习题 211
参考文献 213
第7章 实现方法 215
7.1 本章重点 215
7.1.1 涵盖要点 215
7.1.2 未涉及的内容 216
7.2 计算机舍入操作 216
7.2.1 单位舍入误差 217
7.2.2 舍入对卡尔曼滤波器性能的影响 217
7.2.3 数值误差分析中的术语 218
7.2.4 病态卡尔曼滤波问题 220
7.3 舍入误差对卡尔曼滤波器的影响 220
7.3.1 量化舍入误差对卡尔曼滤波的影响 220
7.3.2 卡尔曼滤波器的舍入误差传播 220
7.3.3 滤波器发散举例 224
7.4 “平方根”滤波的因式分解法 225
7.4.1 背景 225
7.4.2 Cholesky因子的类型 225
7.4.3 矩阵因式分解方法概述 225
7.4.4 Cholesky分解方法及其应用 227
7.4.5 利用去相关实现卡尔曼滤波器 234
7.4.6 初等矩阵的对称平方根 235
7.4.7 三角化方法 235
7.5 “平方根”滤波器和UD滤波器 243
7.5.1 Carlson-Schmidt“平方根”滤波 243
7.5.2 Bierman-Thornton UD滤波器 248
7.6 sigmaRho滤波 253
7.6.1 Sigma和Rho 254
7.6.2 基本连续时间动态模型 255
7.6.3 σi的缩放 258
7.6.4 离散时间sigmaRho动态模型 259
7.6.5 sigmaRho测量更新 262
7.6.6 有效性 264
7.7 其他实现方法 264
7.7.1 早期的实现方法 264
7.7.2 Morf-Kailat联合观测更新/时间更新 270
7.7.3 信息滤波 272
7.8 本章小结 274
习题 275
参考文献 277
第8章 非线性近似 280
8.1 本章重点 280
8.1.1 涵盖要点 280
8.1.2 “非线性”的含义是什么 282
8.2 仿射卡尔曼滤波器 282
8.2.1 仿射模型 282
8.2.2 非零均值噪声模型 282
8.2.3 仿射滤波器实现 283
8.3 非线性模型的线性近似 283
8.3.1 Riccati微分方程的线性化 283
8.3.2 利用数值偏导作为Φ的近似 284
8.3.3 线性和扩展卡尔曼滤波器 284
8.3.4 限制RMS线性化误差 297
8.3.5 多局部线性化检测 300
8.4 采样-传播方法 303
8.4.1 性能评估 303
8.4.2 蒙特卡罗分析 304
8.4.3 粒子滤波器 306
8.4.4 西格马点（σ点）滤波器 306
8.5 无味卡尔曼滤波器（UKF） 308
8.5.1 无味变换（UT） 308
8.5.2 UKF实现 311
8.5.3 无味sigmaRho滤波 316
8.6 真正的非线性估计 317
8.6.1 Benes滤波器 317
8.6.2 Richardson和Marsh的监视解决方法 317
8.7 本章小结 318
8.7.1 本章要点 318
8.7.2 非线性近似的局限性 319
习题 319
参考文献 321
第9章 实际考虑 324
9.1 本章重点 324
9.1.1 涵盖要点 324
9.2 诊断统计量和启发式方法 324
9.2.1 新息分析 325
9.2.2 收敛和发散 329
9.2.3 协方差分析 330
9.2.4 检验不可预测的行为 330
9.2.5 模型不当产生的影响 339
9.2.6 协方差矩阵的分析和纠正 345
9.3 预滤波和数据剔除方法 346
9.3.1 预滤波 346
9.3.2 数据剔除 348
9.4 卡尔曼滤波器的稳定性 349
9.5 次优滤波器和降阶滤波器 349
9.5.1 次优滤波器 349
9.5.2 次优滤波器的双状态评估 354
9.6 Schmidt-Kalman滤波 357
9.6.1 历史背景 357
9.6.2 推导过程 358
9.6.3 Schmidt-Kalman增益 360
9.6.4 实现方程 362
9.6.5 计算复杂度 362
9.7 存储量、吞吐量和字长需求 364
9.7.1 字长问题 364
9.7.2 存储需求 364
9.7.3 吞吐量、处理器速度和计算复杂度 367
9.7.4 编程成本与运行成本 369
9.8 降低计算需求的方法 369
9.8.1 降低矩阵乘积的复杂度 369
9.8.2 离线与在线计算需求 370
9.8.3 增益调度 370
9.8.4 时不变系统的稳态增益 370
9.9 误差预算和灵敏度分析 373
9.9.1 满足统计性能需求的设计问题 373
9.9.2 误差预算 374
9.9.3 误差灵敏度分析和预算 375
9.9.4 通过蒙特卡罗分析进行预算确认 376
9.10 最优测量选取策略 376
9.10.1 测量选取问题 376
9.10.2 边际优化 377
9.10.3 最大边际效益的求解算法 379
9.10.4 计算复杂度 379
9.11 本章小结 380
习题 380
参考文献 381
第10章 在导航中的应用 382
10.1 本章重点 382
10.2 导航概述 383
10.2.1 导航问题 383
10.2.2 惯性导航与卫星导航的发展历史 383
10.2.3 GNSS导航 384
10.2.4 GNSS/INS组合导航 384
10.2.5 导航性能的度量 385
10.2.6 在导航系统设计中的性能预测 385
10.2.7 预测导航性能的动态仿真 386
10.3 全球导航卫星系统（GNSS） 389
10.3.1 历史背景 389
10.3.2 卫星导航的工作原理 389
10.3.3 GNSS的误差源 390
10.3.4 GNSS导航误差建模 393
10.3.5 性能评估 404
10.3.6 导航解的质量 406
10.3.7 Schmidt-Kalman滤波用于残差电离层校正 411
10.3.8 利用伪距差 413
10.4 惯性导航系统（INS） 414
10.4.1 简要背景 415
10.4.2 导航解 419
10.4.3 导航解的初始化 420
10.4.4 INS导航误差源 423
10.4.5 INS导航误差动态 425
10.4.6 INS传感器补偿参数误差 431
10.4.7 MATLAB实现 435
10.5 GNSS/INS组合导航 440
10.5.1 背景 440
10.5.2 MATLAB实现 446
10.6 本章小结 449
习题 450
参考文献 451
附录A 软件 452