第7章 赋范向量空间中的微分学 1
引言 1
7.1 Fréchet导数；链式法则；Piola恒等式；对实值函数极值的应用 2
7.2 赋范向量空间中的中值定理；第一个应用 16
7.3 中值定理的应用：可微函数序列极限的可微性 20
7.4 中值定理的应用：由积分定义函数的可微性 23
7.5 中值定理的应用：Sard定理 25
7.6 取值于Banach空间的C1类函数的中值定理 28
7.7 解非线性方程的Newton方法；Banach空间中的Newton-Kantorovich定理 29
7.8 高阶导数；Schwarz引理 51
7.9 Taylor公式；对实值函数极值的应用 59
7.10 应用：二阶线性椭圆算子的极大值原理 65
7.11 应用：Rn中的Lagrange插值公式和多点Taylor公式 75
7.12 凸函数及可微性；对实值函数极值的应用 93
7.13 隐函数定理；第一个应用：映射A→A-1属于C∞类 101
7.14 局部反演定理；Banach空间中关于C1类映射的区域不变性定理；映射A→A 1/2属于C∞类 107
7.15 实值函数的约束极值；Lagrange乘子 112
7.16 Lagrange函数及鞍点；原始和对偶问题 118
第8章 Rn中的微分几何 127
引言 127
8.1 Rn的开子集中的曲线坐标 128
8.2 度量张量；在曲线坐标下的体积和长度 130
8.3 向量场的共变导数 135
8.4 张量简介 140
8.5 度量张量满足的必要条件；Riemann曲率张量 148
8.6 具有指定度量张量的Rn开子集上浸入的存在性；Riemann几何的基本定理 151
8.7 具有同一度量张量的浸入在相差一等距意义下的唯一性；Rn中开子集的刚性定理 162
8.8 R3中曲面上的曲线坐标 167
8.9 曲面的第一基本形式；曲面上的面积，长度和角度 170
8.10 等距，等积及保形曲面 175
8.11 曲面的第二基本形式；曲面上的曲率 178
8.12 主曲率；Gauss曲率 182
8.13 定义在曲面上向量场的共变导数；Gauss公式和Weingarten公式 187
8.14 第一和第二基本形式满足的必要条件：Gauss方程和Codazzi-Mainardi方程 191
8.15 Gauss绝妙定理；在制图学上的应用 195
8.16 具有指定第一和第二基本形式的曲面的存在性；曲面基本定理 198
8.17 具有同一基本形式的曲面的唯一性；曲面的刚性定理 207
第9章 非线性泛函分析的重要定理 211
引言 211
9.1 作为与泛函极小化相关的Euler-Lagrange方程的非线性偏微分方程 213
9.2 凸函数和在RU{∞｝中取值的序列下半连续函数 218
9.3 强制序列弱下半连续泛函极小化子的存在性 225
9.4 对von Kármán方程的应用 229
9.5 在W1，p（Ω）中的极小化子的存在性 237
9.6 对p-Laplace算子的应用 246
9.7 多凸性；补偿紧性；非线性弹性中的John Ball存在定理 248
9.8 Ekeland变分原理；满足Palais-Smale条件的泛函极小化子的存在性 267
9.9 Brouwer不动点定理——第一个证明 274
9.10 Brouwer定理的应用：借助Galerkin方法求解von Kármán方程 282
9.11 Brouwer定理的应用：借助Galerkin方法求解Navier-Stokes方程 285
9.12 Schauder不动点定理；Schafer不动点定理；Leray-Schauder不动点定理 291
9.13 单调算子 297
9.14 单调算子的Minty-Browder定理；对p-Laplace算子的应用 300
9.15 Rn中的Brouwer拓扑度：定义和性质 306
9.16 Brouwer不动点定理——第二个证明；毛球定理 323
9.17 Borsuk定理及Borsuk-Ulam定理；Brouwer区域不变性定理 325
文献注释 335
参考文献 339
主要符号 373
名词索引 381