第1章 镜子的独白 1
1.1谁是老实人 1
1.1.1镜子呀镜子 1
1.1.2谁是老实人 3
1.1.3相同的回答 7
1.1.4回答是沉默 8
1.2逻辑谜题 9
1.2.1爱丽丝、博丽丝和克丽丝 9
1.2.2用表格来想 10
1.2.3出题者的心思 14
1.3帽子是什么颜色 15
1.3.1不知道 15
1.3.2对出题者的验证 18
1.3.3镜子的独白 19
第2章 皮亚诺算术 23
2.1泰朵拉 23
2.1.1皮亚诺公理 23
2.1.2无数个愿望 27
2.1.3皮亚诺公理PA1 28
2.1.4皮亚诺公理PA2 29
2.1.5养大 32
2.1.6皮亚诺公理PA3 34
2.1.7小的？ 35
2.1.8皮亚诺公理PA4 36
2.2米尔嘉 39
2.2.1皮亚诺公理PA5 42
2.2.2数学归纳法 43
2.3在无数脚步之中 49
2.3.1有限？无限？ 49
2.3.2动态？静态？ 50
2.4尤里 52
2.4.1加法运算？ 52
2.4.2公理呢？ 53
第3章 伽利略的犹豫 57
3.1集合 57
3.1.1美人的集合 57
3.1.2外延表示法 58
3.1.3餐桌 60
3.1.4空集 61
3.1.5集合的集合 62
3.1.6公共部分 64
3.1.7并集 67
3.1.8包含关系 68
3.1.9为什么要研究集合 71
3.2逻辑 72
3.2.1内涵表示法 72
3.2.2罗素悖论 74
3.2.3集合运算和逻辑运算 77
3.3无限 79
3.3.1双射鸟笼 79
3.3.2伽利略的犹豫 83
3.4表示 86
3.4.1归途 86
3.4.2书店 87
3.5沉默 88
第4章 无限接近的目的地 91
4.1家中 91
4.1.1尤里 91
4.1.2男生的“证明” 92
4.1.3尤里的“证明” 93
4.1.4尤里的“疑惑” 96
4.1.5我的讲解 97
4.2超市 99
4.3音乐教室 104
4.3.1字母的导入 104
4.3.2极限 106
4.3.3凭声音决定音乐 108
4.3.4极限的计算 111
4.4归途 119
第5章 莱布尼茨之梦 123
5.1若尤里，则非泰朵拉 123
5.1.1“若……则……”的含义 123
5.1.2莱布尼茨之梦 126
5.1.3理性的界限？ 128
5.2若泰朵拉，则非尤里 129
5.2.1备战高考 129
5.2.2上课 131
5.3若米尔嘉，则米尔嘉 133
5.3.1教室 133
5.3.2形式系统 135
5.3.3逻辑公式 137
5.3.4“若……则>……”的形式 140
5.3.5公理 142
5.3.6证明论 143
5.3.7推理规则 145
5.3.8证明和定理 147
5.4不是我，还是我 149
5.4.1家中 149
5.4.2形式的形式 150
5.4.3含义的含义 152
5.4.4若“若……则……”，则…… 153
5.4.5邀约 157
第6章？-δ语言 159
6.1数列的极限 159
6.1.1从图书室出发 159
6.1.2到达阶梯教室 160
6.1.3理解复杂式子的方法 164
6.1.4看“绝对值” 166
6.1.5看“若……则……” 169
6.1.6看“所有”和“某个” 170
6.2函数的极限 174
6.2.1？-δ 174
6.2.2？-δ的含义 177
6.3摸底考试 178
6.3.1上榜 178
6.3.2静寂的声音、沉默的声音 179
6.4“连续”的定义 181
6.4.1图书室 181
6.4.2在所有点处都不连续 184
6.4.3是否存在在一点处连续的函数 186
6.4.4逃出无限的迷宫 187
6.4.5在一点处连续的函数！ 188
6.4.6诉衷肠 192
第7章 对角论证法 197
7.1数列的数列 197
7.1.1可数集 197
7.1.2对角论证法 201
7.1.3挑战：给实数编号 209
7.1.4挑战：有理数和对角论证法 213
7.2形式系统的形式系统 215
7.2.1相容性和完备性 215
7.2.2哥德尔不完备定理 222
7.2.3算术 224
7.2.4形式系统的形式系统 225
7.2.5词汇的整理 229
7.2.6数项 229
7.2.7对角化 230
7.2.8数学的定理 232
7.3失物的失物 233
第8章 两份孤独所衍生的产物 239
8.1重叠的对 239
8.1.1泰朵拉的发现 239
8.1.2我的发现 245
8.1.3谁都没发现的事实 246
8.2家中 247
8.2.1自己的数学 247
8.2.2表现的压缩 247
8.2.3加法运算的定义 251
8.2.4教师的存在 254
8.3等价关系 255
8.3.1毕业典礼 255
8.3.2对衍生的产物 257
8.3.3从自然数到整数 258
8.3.4图 259
8.3.5等价关系 264
8.3.6商集 268
8.4餐厅 272
8.4.1两个人的晚饭 272
8.4.2一对翅膀 272
8.4.3无力考试 275
第9章 令人迷惑的螺旋楼梯 277
9.1 0/3π弧度 277
9.1.1不高兴的尤里 277
9.1.2三角函数 279
9.1.3 sin45° 282
9.1.4 sin60° 286
9.1.5正弦曲线 290
9.2. 2/3π弧度 294
9.2.1弧度 294
9.2.2教人 296
9.3. 4/3π弧度 297
9.3.1停课 297
9.3.2余数 298
9.3.3灯塔 300
9.3.4海边 303
9.3.5消毒 304
第10章 哥德尔不完备定理 307
10.1双仓图书馆 307
10.1.1入口 307
10.1.2氯 308
10.2希尔伯特计划 310
10.2.1希尔伯特 310
10.2.2猜谜 312
10.3哥德尔不完备定理 316
10.3.1哥德尔 316
10.3.2讨论 318
10.3.3证明的概要 320
10.4春天——形式系统P 320
10.4.1基本符号 320
10.4.2数项和符号 322
10.4.3逻辑公式 323
10.4.4公理 324
10.4.5推理规则 327
10.5午饭时间 328
10.5.1元数学 328
10.5.2用数学研究数学 329
10.5.3苏醒 329
10.6夏天——哥德尔数 331
10.6.1基本符号的哥德尔数 331
10.6.2序列的哥德尔数 332
10.7秋天——原始递归性 335
10.7.1原始递归函数 335
10.7.2原始递归函数（谓词）的性质 338
10.7.3表现定理 340
10.8冬天——通往可证明性的漫长之旅 343
10.8.1整理行装 343
10.8.2数论 344
10.8.3序列 346
10.8.4变量·符号·逻辑公式 348
10.8.5公理、定理、形式证明 358
10.9新春——不可判定语句 362
10.9.1“季节”的确认 362
10.9.2种子——从含义的世界到形式的世界 364
10.9.3绿芽——P的定义 366
10.9.4枝杈——r的定义 367
10.9.5叶子——从A1往下走 368
10.9.6蓓蕾——从B1开始往下走 369
10.9.7不可判定语句的定义 369
10.9.8 梅花——IsProvable（g） 370
10.9.9桃花——IsProvable（not（g））的证明 372
10.9.10樱花——证明形式系统P是不完备的 374
10.10不完备定理的意义 376
10.10.1“‘我’是无法证明的” 376
10.10.2第二不完备定理的证明之概要 380
10.10.3不完备定理衍生的产物 383
10.10.4数学的界限？ 384
10.11带上梦想 386
10.11.1并非结束 386
10.11.2属于我 387
尾声 391
后记 395
参考文献和导读 399