第一章 预备知识 1
1.1 可测结构 1
1.2 随机变量与收敛性 10
1.3 特征函数 15
1.4 条件数学期望 18
1.5 习题与解答 22
第二章 鞅论基础 23
2.1 离散时间鞅 23
2.2 流与停时 34
2.3 连续时间鞅 39
2.4 习题与解答 43
第三章 Brown运动 47
3.1 随机过程与无穷维空间上的概率测度 47
3.2 热核半群与 Brown运动 55
3.3 Brown运动的构造 58
3.4 Brown运动的性质 61
3.5 Brown运动的变差 70
3.6 习题与解答 74
第四章 Ito积分 80
4.1 引论 80
4.2 经典随机积分 82
4.3 二次变差过程 90
4.4 连续鞅的随机积分 99
4.4.1 关于连续平方可积鞅的随机积分 99
4.4.2 Kunita-Watanabe不等式 104
4.4.3 扩展至连续局部鞅 105
4.4.4 扩展至连续半鞅 107
4.5 习题与解答 108
第五章 Ito公式及其应用 111
5.1 Ito公式 111
5.2 Ito公式的应用 115
5.2.1 随机指数 116
5.2.2 Lévy的Brown运动鞅刻画 120
5.2.3 连续局部鞅是Brown运动的时间变换 121
5.2.4 Girsanov定理 123
5.2.5 鞅表示定理 129
5.3 习题与解答 131
第六章 随机微分方程 134
6.1 引论 134
6.2 随机微分方程的一些例子 136
6.2.1 线性Gauss扩散 136
6.2.2 几何Brown运动 138
6.2.3 Cameron-Martin公式 140
6.3 随机微分方程基本定理 141
6.4 强解：存在唯一性 142
6.5 鞅与弱解 147
6.6 习题与解答 150
参考文献 151
索引 152