第1章 分数阶微积分学简介 1
1.1分数阶微积分学的历史回顾 1
1.2自然世界中的分数阶现象与模型举例 3
1.3分数阶微积分与分数阶控制工具简介 4
1.4本书的结构 5
1.4.1本书的主要内容与要点 5
1.4.2阅读本书的建议 7
第2章 常用特殊函数的定义与计算 9
2.1误差函数与补误差函数 9
2.2 Gamma函数 10
2.3 Beta函数 14
2.4 Dawson函数 16
2.5超几何函数 18
2.6 Mittag-Leffler函数 20
2.6.1单参数Mittag-Leffler函数 20
2.6.2双参数Mittag-Leffler函数 23
2.6.3多参数Mittag-Leffler函数 26
2.6.4 Mittag-Leffler函数的导数 27
2.6.5 Mittag-Leffler函数及其导数的数值运算 29
第3章 分数阶微积分的定义与计算 31
3.1分数阶Cauchy积分公式 32
3.1.1 Cauchy积分 32
3.1.2常用函数的分数阶微分与积分公式 32
3.2 Grunwald-Letnikov分数阶微积分定义与计算 33
3.2.1高阶导数的推导 33
3.2.2 Grunwald-Letnikov分数阶微分的定义 33
3.2.3 Grunwald-Letnikov分数阶微分与积分的数值计算 34
3.2.4 Podlubny的矩阵算法 39
3.2.5短时记忆效应及其探讨 40
3.3 Riemann-Liouville分数阶微积分定义与计算 44
3.3.1高阶整数阶积分公式 44
3.3.2 Riemann-Liouville分数阶微积分定义 44
3.3.3常用函数的Riemann-Liouville微积分公式 45
3.3.4初始时刻平移的性质 46
3.3.5 Riemann-Liouville定义的数值计算 47
3.4分数阶微积分的高精度算法与实现 48
3.4.1任意阶次的生成函数构造 48
3.4.2基于FFT的算法 51
3.4.3系数计算的递推公式 53
3.4.4初始时刻更好的拟合处理 57
3.4.5再论矩阵算法 61
3.5 Caputo分数阶微积分定义 62
3.6各种不同分数阶微积分定义之间的关系 63
3.6.1 Grunwald-Letnikov与Riemann-Liouville定义的关系 63
3.6.2 Caputo与Riemann-Liouville定义的关系 64
3.6.3 Caputo分数阶微分的数值计算 64
3.6.4 Caputo微分的高精度算法 66
3.7分数阶微积分的性质与几何解释 68
3.7.1分数阶微积分的性质 68
3.7.2分数阶积分的几何解释 70
第4章 线性分数阶微分方程的求解 73
4.1线性分数阶微分方程简介 73
4.1.1线性分数阶微分方程的一般形式 73
4.1.2不同定义下的分数阶导数初值问题 74
4.1.3一个重要的Laplace变换公式 75
4.2一些线性分数阶微分方程的解析解方法 76
4.2.1单项分数阶微分方程 76
4.2.2双项分数阶微分方程 76
4.2.3 3项分数阶微分方程 77
4.2.4一般n项分数阶微分方程 78
4.3同元次微分方程的求解 78
4.3.1同元次微分方程的一般形式 79
4.3.2线性分数阶微分方程求解的一些常用Laplace变换公式 80
4.3.3同元次微分方程的解析解 81
4.4零初值线性分数阶微分方程的闭式解算法 84
4.4.1闭式解算法 84
4.4.2基于矩阵的求解算法 88
4.4.3高精度闭式解算法 90
4.5非零初值线性Caputo微分方程的数值解法 91
4.5.1 Caputo微分方程的数学描述 91
4.5.2 Taylor辅助函数算法 92
4.5.3 Caputo微分方程的高精度算法 94
4.6无理分数阶微分方程的数值解法 100
4.6.1无理分数阶传递函数描述 100
4.6.2基于数值Laplace反变换的仿真方法 100
4.6.3闭环无理系统的时域响应计算 102
4.6.4无理分数阶系统的稳定性判定 103
4.6.5数值Laplace变换 106
第5章 分数阶微积分算子与系统的近似 108
5.1基于连分式的几种近似方法 109
5.1.1连分式近似 109
5.1.2 Carlson近似 111
5.1.3 Matsuda-Fujii近似 114
5.2 Oustaloup滤波器近似 115
5.2.1常规的Oustaloup近似 115
5.2.2一种改进的Oustaloup滤波器 120
5.3分数阶传递函数的整数阶近似 123
5.3.1分数阶传递函数的高阶近似 123
5.3.2基于模型降阶技术的低阶近似方法 125
5.4无理分数阶模型的近似 129
5.4.1频域响应近似方法 130
5.4.2 Charef近似 132
5.4.3复杂无理模型的最优Charef滤波器设计 135
第6章 多变量分数阶传递函数矩阵的建模与分析 142
6.1创建MATLAB的对象——FOTF类编程 143
6.1.1定义一个FOTF类 143
6.1.2显示函数的编程 145
6.1.3多变量FOTF矩阵的输入 146
6.2 FOTF模块的相互连接 147
6.2.1 Kronecker积与Kronecker和 147
6.2.2 FOTF对象的串联连接 147
6.2.3 FOTF对象的并联连接 149
6.2.4反馈连接函数 150
6.2.5其他支持函数的编程 152
6.2.6 FOTF对象与同元次模型的相互转换 154
6.3线性分数阶系统的性质分析 155
6.3.1稳定性分析 156
6.3.2部分分式展开与稳定性判定 158
6.3.3分数阶系统的范数计算 159
6.4线性分数阶系统的频域响应分析 161
6.4.1单变量系统的频域响应分析 161
6.4.2基于Nyquist图的稳定性判定 162
6.4.3多变量系统的对角占优分析 163
6.4.4复杂系统结构下的频域响应计算 166
6.4.5多变量系统的奇异值曲线 168
6.5线性分数阶系统的时域分析 170
6.5.1阶跃响应与脉冲响应 170
6.5.2分数阶系统任意输入的响应 173
6.6同元次系统的根轨迹分析 175
第7章 线性分数阶系统的状态方程建模与分析 178
7.1分数阶系统的状态方程描述 178
7.2分数阶系统的状态方程模型 179
7.2.1 FOSS类定义与编程 179
7.2.2 FOSS与FOTF对象的转换 180
7.2.3不同基阶的状态增广变换 182
7.2.4 FOSS模块的相互连接 184
7.3分数阶状态方程模型的性质分析 187
7.3.1稳定性判定 187
7.3.2状态转移矩阵 188
7.3.3可控性与可观测性 190
7.3.4可控性与可观测性的阶梯标准型 191
7.3.5范数计算 192
7.4分数阶状态方程模型的分析 192
7.5分数阶扩展状态方程模型 193
7.5.1线性分数阶扩展状态方程模型 193
7.5.2非线性分数阶扩展状态方程模型 195
第8章 非线性分数阶微分方程的数值求解 197
8.1非线性Caputo微分方程的数值解算法 197
8.1.1单项方程的数值解方法 198
8.1.2多项Caputo微分方程的求解 202
8.1.3分数阶扩展状态方程的数值求解 205
8.1.4基于代数方程求解的微分方程算法 209
8.2 Caputo微分方程的高效高精度算法 210
8.2.1预估方程 211
8.2.2校正求解方法 213
8.2.3隐式Caputo微分方程的高精度矩阵算法 215
8.3典型分数阶元件的Simulink模块集开发与应用 217
8.3.1 FOTF模块集的设计 217
8.3.2 FOTF矩阵模块的实现 221
8.3.3控制问题的Simulink求解 223
8.3.4 Simulink仿真结果的验证 226
8.4零初值分数阶微分方程的框图解法 226
8.5非零初值Caputo微分方程的框图解法 231
8.5.1 Caputo算子模块设计 232
8.5.2 Caputo微分方程的典型建模步骤 233
8.5.3 Caputo微分方程的更简单建模仿真方法 235
8.5.4分数阶状态方程的Simulink建模 238
8.5.5隐式分数阶微分方程的数值解法 240
第9章 分数阶PID控制器设计 243
9.1分数阶PID控制器概述 243
9.2最优整数阶PID控制器的设计 245
9.2.1 FOPDT对象的整定规则 245
9.2.2伺服控制有意义的性能指标 247
9.2.3 OptimPID——最优PID控制器设计界面 249
9.3基于频域响应的分数阶PID控制器设计方法 250
9.3.1基于频域响应的设计方法一般描述 251
9.3.2 FOPDT受控对象的PIλDμ控制器设计 252
9.3.3 FOIDPT对象的控制器设计 256
9.3.4一般分数阶受控对象的PIλDμ控制器设计 257
9.3.5 PIDμ控制器的设计 258
9.3.6 FO-［PD］控制器设计 259
9.3.7鲁棒控制器设计的其他考虑 259
9.4基于数值寻优的最优PIλDμ控制器的设计 260
9.4.1最优PIλDμ控制器设计方法 260
9.4.2带有延迟受控对象的最优PIλDμ控制器设计 263
9.4.3 OptimFOPID——最优分数阶PID控制器设计界面 266
9.5模糊分数阶PID控制器的设计与仿真 268
9.5.1控制器参数的模糊规则 268
9.5.2模糊分数阶PID控制器的Simulink实现 268
第10章 多变量分数阶系统的频域设计方法 274
10.1多变量分数阶系统的伪对角化设计 274
10.1.1伪对角化及其实现 274
10.1.2控制器的单独回路设计 278
10.1.3控制器的鲁棒性仿真分析 281
10.2多变量分数阶系统的参数最优化设计方法 283
10.2.1整数阶控制器的参数最优化设计 283
10.2.2控制器的参数最优化设计步骤 285
10.2.3控制系统的鲁棒性仿真研究 288
10.2.4带有延迟的受控对象模型的控制器设计 291
附录A 分数阶和无理函数相关的Laplace逆变换 295
A.1分数阶微积分学常用的特殊函数 295
A.2 Laplace变换表 296
附录B FOTF工具箱函数与模型 299
B.1基本计算函数 299
B.2面向对象的程序设计 301
B.3 Simulink模型 303
B.4为例子建立的函数与模型 303
附录C 分数阶微分方程求解的基准测试问题 305
参考文献 307
索引 310