第1章 广义函数与Sobolev空间 1
1.1广义函数的基本概念、基本空间 1
1.1.1引言 1
1.1.2基本空间C∞（Rn），C∞c（Rn） 4
1.1.3函数的正则化、平均算子 5
1.1.4基本空间y（Rn） 7
习题 9
1.2广义函数及其运算 10
1.2.1 ？′（Rn），y′（Rn），ε′（Rn）广义函数 10
1.2.2广义函数的支集 13
1.2.3广义函数的极限 16
1.2.4广义函数的导数 18
1.2.5广义函数的乘子 22
1.2.6广义函数的自变量变换 23
1.2.7广义函数的卷积 23
习题 26
1.3 Fourier变换 28
1.3.1 y（Rn）空间上的Fourier变换 28
1.3.2 y′（Rn）空间上的Fourier变换 32
1.3.3紧支集广义函数的Fourier变换 36
1.3.4拟微分算子 39
习题 41
1.4 Sobolev空间 42
1.4.1非负整指数Sobolev空间Hm，p 42
1.4.2负整指数Sobolev空间 48
1.4.3实指数Sobolev空间 50
1.4.4 Hm（Ω）函数的延拓 52
1.4.5微分流形上的Sobolev空间 55
习题 56
1.5嵌入定理、迹定理 57
1.5.1嵌入定理 57
1.5.2紧嵌入定理 63
1.5.3迹定理 66
习题 70
第2章 偏微分方程的一般理论 72
2.1一般概念、特征与分类 72
2.1.1偏微分方程的一般概念 72
2.1.2特征 73
2.1.3偏微分方程的分类 75
习题 76
2.2存在性定理 77
2.2.1 Cauchy-Kowalevskaya定理 77
2.2.2 Cauchy-Kowalevskaya定理的证明 80
2.2.3初始资料给在一般曲面上的情形 84
2.2.4 Lewy反例 86
习题 87
2.3唯一性与稳定性 88
2.3.1 Holmgren定理 88
2.3.2 Holmgren定理的应用 92
2.3.3稳定性 93
习题 94
2.4基本解 95
2.4.1基本解的概念 95
2.4.2偏微分方程的基本解 97
2.4.3 Cauchy问题的基本解 101
2.4.4基本解在解的正则性研究中的应用 104
习题 106
第3章 椭圆型方程 107
3.1椭圆型方程边值问题的广义解 107
3.1.1 Dirichlet问题的广义解 107
3.1.2第二、第三边值问题的广义解 109
习题 111
3.2椭圆型方程边值问题的可解性 111
3.2.1先验估计 111
3.2.2算子-L＋λ的可逆性 114
3.2.3两择性定理 115
3.2.4特征值问题 119
3.2.5 Laplace算子的特征值与特征函数 121
习题 124
3.3解的正则性 124
3.3.1差商算子及其性质 124
3.3.2半空间上椭圆型方程的Dirichlet问题 127
3.3.3一般区域的情形 131
3.3.4内正则性定理 133
习题 135
3.4高阶椭圆型方程 135
3.4.1高阶椭圆型方程的定义 135
3.4.2先验估计 137
3.4.3两择性定理与正则性定理 141
习题 142
第4章 双曲型方程 143
4.1能量不等式、解的唯一性和稳定性 143
4.1.1二阶双曲型方程的定解问题 143
4.1.2初边值问题的能量不等式 144
4.1.3 Cauchy问题的能量不等式 147
4.1.4扰动的有限传播速度 150
习题 150
4.2 Cauchy问题解的存在性 150
4.2.1高阶能量不等式 151
4.2.2解析逼近法 152
习题 155
4.3初边值问题解的存在性 155
4.3.1取值于Banach空间的函数 155
4.3.2 Galerkin方法 157
4.33附注 164
习题 165
4.4对称双曲组 165
4.4.1对称双曲组及其Cauchy问题 165
4.4.2对称双曲组Cauchy问题的能量不等式 167
4.4.3初边值问题的能量不等式 170
习题 171
4.5正对称方程组 172
4.5.1正对称算子 172
4.5.2强解与弱解 175
4.5.3强解的唯一性与弱解的存在性 176
4.5.4强解与弱解的一致性 179
习题 185
第5章 抛物型方程与算子半群方法 187
5.1抛物型方程及其能量不等式 187
5.1.1抛物型方程的定解问题 187
5.1.2能量不等式 188
5.1.3用Galerkin方法解初边值问题 189
习题 192
5.2算子半群与无穷小生成元 192
5.2.1算子半群方法的基本思想 192
5.2.2无穷小生成元 194
5.2.3线性压缩算子半群的存在性与唯一性 196
5.2.4一般线性算子半群的情形 200
习题 202
5.3算子半群方法的应用 202
5.3.1增生算子 202
5.3.2对抛物型方程初边值问题的应用 203
5.3.3对双曲型方程初边值问题的应用 207
习题 211
参考文献 212
索引 214
《大学数学科学丛书》已出版书目 217