第1章 线性方程组 1
1.1 线性方程组 1
1.1.1 线性方程组的基本概念 1
1.1.2 矩阵记号 2
1.1.3 线性方程组的一般解法 4
1.2 线性方程组解的判定 10
1.3 向量组的线性相关性 16
1.3.1 n维向量的定义 17
1.3.2 向量的线性运算 17
1.3.3 向量组的线性组合 18
1.3.4 向量组的线性相关性 19
1.4 向量组的秩 23
1.4.1 极大线性无关组 24
1.4.2 向量组的秩 25
1.5 线性方程组解的结构 27
1.5.1 齐次线性方程组Ax=0解的结构 27
1.5.2 非齐次线性方程组Ax=b解的结构 32
1.6 应用案例 37
1.6.1 配方问题 37
1.6.2 平衡价格问题 39
1.6.3 剑桥减肥食谱问题 40
1.7 数学实验1——线性方程组的MATLAB实验 41
1.7.1 矩阵的初等变换 41
1.7.2 向量组的线性相关性 42
1.7.3 线性方程组求解 44
总习题一 49
第2章 矩阵 53
2.1 矩阵的运算 53
2.1.1 矩阵的加法运算 53
2.1.2 矩阵的数乘运算 54
2.1.3 矩阵的乘法运算 55
2.1.4 方阵的幂 56
2.1.5 矩阵的转置 57
2.2 逆矩阵 58
2.2.1 逆矩阵的概念 58
2.2.2 逆矩阵的性质 60
2.2.3 初等矩阵 60
2.2.4 利用初等变换求矩阵的逆 63
2.2.5 求解矩阵方程 66
2.3 应用案例 67
2.3.1 选举问题 67
2.3.2 失业问题 68
2.4 数学实验2——矩阵的MATLAB实验 70
2.4.1 矩阵的运算 70
2.4.2 矩阵求逆 72
总习题二 73
第3章 行列式 76
3.1 行列式的概念 76
3.1.1 二阶行列式 76
3.1.2 三阶行列式 78
3.1.3 n阶行列式 80
3.2 行列式的性质 84
3.3 克莱姆法则 92
3.4 矩阵与行列式 95
3.4.1 方阵的行列式 95
3.4.2 矩阵求逆 96
3.4.3 矩阵的子式 98
3.5 应用案例 99
3.5.1 联合收入问题 99
3.5.2 投入产出问题 101
3.5.3 工程问题 102
3.6 数学实验3——行列式的MATLAB实验 104
总习题三 108
第4章 特征值与特征向量 114
4.1 向量的内积 114
4.1.1 向量的内积 114
4.1.2 正交向量组与标准正交基 115
4.1.3 正交矩阵与正交变换 117
4.2 特征值与特征向量 119
4.2.1 特征值与特征向量的概念 119
4.2.2 特征值与特征向量的性质 120
4.3 方阵的对角化 122
4.3.1 相似矩阵的概念与性质 122
4.3.2 方阵的对角化 122
4.4 应用案例 125
4.4.1 人员流动问题 126
4.4.2 遗传基因问题 128
4.5 数学实验4——特征值与特征向量的MATLAB实验 129
总习题四 132
第5章 二次型 135
5.1 二次型及其矩阵 135
5.1.1 二次型的概念 135
5.1.2 矩阵的合同 137
5.2 二次型的标准形 138
5.2.1 用正交变换化二次型为标准形 138
5.2.2 用初等变换化二次型为标准形 139
5.2.3 用配方法化二次型为标准形 140
5.2.4 二次型与对称矩阵的规范形 141
5.3 正定二次型 142
5.3.1 二次型的有定性 142
5.3.2 正定矩阵的判别法 143
5.4 应用案例 145
5.5 数学实验5——二次型的MATLAB实验 147
总习题五 149
附录 MATLAB软件简介 151
习题参考答案 153
总习题一答案 153
总习题二答案 155
总习题三答案 156
总习题四答案 157
总习题五答案 158
参考文献 160