第1章 “万物皆数”观点的破灭与再生——第一次数学危机与实数理论 1
1.1毕达哥拉斯学派的信条——万物皆数 2
1.2第一个无理数 2
1.3无理数之谜 4
1.4连续性的奥秘 5
1.5戴德金分割 6
1.6连续归纳原理 8
1.7“万物皆数”的再生 9
1.8勾股定理的多种证明 10
1.9无理数与第一次数学危机 11
1.10中国古代文化中的“万物皆数” 13
1.11一分为二和一分为三 16
第2章 哪种几何才是真的——非欧几何与现代数学的“公理” 19
2.1欧几里得的公理方法 20
2.2欧几里得的几何定理是真理吗 21
2.3非欧几何的发现 22
2.4哪一个是真的 24
2.5公理是什么 25
2.6古今由圆外一点向圆作切线的不同 27
2.7定义的多样性和局限性 28
第3章 变量·无穷小·量的鬼魂——第二次数学危机与极限概念 32
3.1数学怎么描述运动与变化 33
3.2瞬时速度 35
3.3微分是量的鬼魂吗 37
3.4无穷小量的再生 39
3.5不用极限的微积分 41
第4章 自然数有多少——数学中的“实在无穷”概念 50
4.1伽利略的困惑 51
4.2康托，闯入无穷王国的先锋 52
4.3希尔伯特的“无穷旅店” 55
4.4所有的无穷都一样吗 56
4.5自然数究竟有多少 60
4.6有理数的自白 62
4.7素数无穷的不同表述 63
4.8数学的严格 64
第5章 罗素悖论引起的轩然大波——第三次数学危机 67
5.1逻辑—集合—数 68
5.2罗素悖论 69
5.3集合的层次理论 70
5.4集合论的公理化 71
5.5连续统假设 72
5.6地平线仍在前方 73
5.7悖论与危机 75
第6章 数是什么——对数学对象本质的几种看法 79
6.1 1是什么 80
6.2柏拉图主义——数存在于理念世界 82
6.3唯名论观点——数是纸上的符号或头脑中特定的概念 84
6.4康德：数是思维创造的抽象实体 85
6.5约定论的观点——数学规则不过是人的约定 86
6.6逻辑主义——算术是逻辑的一部分 87
6.7直觉主义——数学概念是自主的智力活动 88
6.8形式主义——把数学化为关于有限符号排列的操作 90
6.9争论与统一 92
6.10存在与构造 93
6.11 0.9＝1吗 96
第7章 是真的，但又不能证明——哥德尔定理 98
7.1哥德尔定理 100
7.2说谎者悖论与理查德悖论 101
7.3算术有多少种 102
7.4数学的力量与局限 104
7.5数学的局限与加密 105
7.6数学的局限与博弈 106
第8章 数学与结构——布尔巴基学派的观点 109
8.1在逻辑长链的背后 111
8.2形形色色的加法 113
8.3基本的结构 116
8.4分析与综合的艺术 119
8.5布尔巴基学派和新数运动 123
第9章 命运决定还是意志自由——必然性与偶然性的数学思考 125
9.1两种对立的哲学观点 126
9.2从偶然产生必然 131
9.3从必然产生偶然 133
9.4一场风暴或一口痰能影响民族的命运吗 134
9.5什么叫必然？什么叫偶然 136
9.6抽屉原理 139
9.7五百年必有王者兴 140
第10章 举例子能证明几何定理吗——演绎与归纳的对立与统一 143
10.1例证法——用演绎支持归纳 144
10.2几何定理也能用例子证明 145
10.3进一步的思考 148
10.4验证三角形内角和定理 151
10.5精确数学和近似数学 152
10.6例证法与动态几何 154
第11章 计算机正在改变数学 155
11.1四色定理的机器证明 156
11.2计算机证明的定理可靠吗 157
11.3数学和计算机共同发展 159
11.4《九章算术》的算法思想 160
11.5几何信息搜索系统简介 161
11.6机器证明软件简介 166
第12章 数学与哲学随想 174
12.1数学的领域在扩大，哲学的地盘在缩小 174
12.2数学始终在影响着哲学 175
12.3抽象与具体 177
12.4涉及具体问题时，语言必须精确严格 178
12.5个别与一般 181
12.6事物与概念 183
12.7“我不需要这个假设” 184
12.8证实与证伪 185
12.9数学世界是人的创造，但它是客观的 186
12.10事物的总体性 187
12.11变化中的不变 188
12.12预言 190
12.13“没有两件事物完全一样” 191
12.14物极必反 194
12.15论怀疑 195
12.16量变与质变 198
12.17罗素与“事素” 199