第1章 绪论 1
1.1 应用范围 1
1.2 简要回顾 4
1.3 局部平均及其极值 7
第2章 随机场分析基础 11
2.1 随机场的类型 11
2.2 概率基本描述 15
初等概率论概述 15
随机变量 17
概念推广至随机场 20
随机变量的变换 20
2.3 期望与条件期望 26
单个随机变量的期望 26
涉及两个随机变量的期望 28
随机向量的协方差矩阵 29
协方差、相关函数和互协方差函数 30
涉及多个随机变量的期望 31
条件期望 32
几何平均及其相关统计量 33
2.4 特征函数 33
特征函数 33
累积量函数 35
2.5 高斯及其相关的概率分布 36
高斯（或正态）分布 36
多维高斯分布 37
条件高斯分布 40
对数正态分布 41
随机距离的分布 43
中心极限定理 43
2.6 最优线性预测与更新 44
经典估计问题 44
二元线性估计 47
多元线性估计 48
2.7 纯随机场和马尔可夫过程 49
纯随机场 50
涉及独立增量之和的随机场 52
泊松过程及其相关随机场 55
马尔可夫过程与扩散理论 57
2.8 基于量子物理的新型概率分布 60
“量子质量比”的统计及其对数 60
“量子尺寸比”的统计量 66
相关概率模型族 67
第3章 均匀随机场的二阶分析 69
3.1 引言、概念与符号 69
随机场的二阶描述 69
低维随机场（或随机过程） 70
象限对称性 70
谱密度和相关函数的矩 70
3.2 均匀随机场的相关函数 71
基本性质和对称性 71
象限对称性 72
象限对称协方差函数的几个重要类型 72
两个耦合随机场的互协方差函数 74
3.3 一维随机过程的谱表示 74
引言 74
Wiener-Khinchine关系 75
单边谱密度函数 76
累积谱与标准化谱 77
更规范的谱表示 78
互谱 79
离散参数随机过程的谱 79
3.4 均匀随机场的谱分析 82
二维问题 82
Wiener-Khinchine关系 83
象限对称情况 84
方向依赖的一维随机波动 85
累积谱和标准化谱 85
几类特殊情形 86
向多维情形的推广 88
3.5 不变线性系统的输入-输出关系 92
系统描述 92
线性系统的均匀随机响应 93
网格系统的类似结果 96
3.6 随机场的导数和局部积分 97
偏导数的统计量 97
均方可微条件 99
随机场的局部积分 101
网格场的类似结果 104
3.7 移动平均和自回归模型 105
一维自回归（马尔可夫）相关模型 105
空间上的一阶自回归模型 106
高阶自回归马尔可夫模型 108
线性振子在白噪声激励下的响应 108
直线上的移动平均相关模型 109
矩形域、球域和椭圆域内的移动平均 110
自回归移动平均模型 111
3.8 空间-时间相关结构：基本关系 111
二阶统计量 111
依赖于频率的空间相关函数 112
二阶分析的四种形式 113
依赖于频率的波数谱 114
象限对称的情形 114
关于圆和球谐函数的说明 115
第4章 谱参数，水平穿越与极值 117
4.1 谱矩及相关参数 117
一维谱参数的定义 117
谱分布函数的边界 119
S（ω1，ω2）的联合谱矩 119
n维随机场的联合谱矩 121
4.2 偏微分的统计量 122
4.3 基本包络统计量 124
一维包络的两种定义 125
一维包络统计量 126
n维高斯随机场的包络 127
4.4 阈值穿越统计与极值 130
平均阈值穿越率 130
局部极大值的平均出现率及其概率分布 130
在阈值上/下的平均停留时间 132
包络穿越统计量 133
阈值穿越与局部极大值的成丛性 134
极大值的概率分布 135
4.5 穿越区域的期望大小 137
二维情形 138
多维情形 139
4.6 水平穿越和极值的统计量 140
高界限值的局部极大值的平均出现率 141
成丛趋势因子 142
随机场的最大值的概率分布 143
4.7 通用相关模型的谱参数 144
低通白噪声 145
具有随机相位角的正弦波 145
有限带宽分形噪声或1/f噪声 146
一族自回归相关模型 147
白噪声激励下简谐振子的响应 148
指数衰减型谱密度函数 149
4.8 在非均匀随机场中的推广 150
第5章 一维局部平均过程 153
5.1 方差函数和涨落尺度 153
方差函数 153
涨落尺度 156
方差函数的另一种形式 158
方差函数的若干解析模型 159
方差函数的推荐近似表达式 160
历史注释 161
5.2 涨落尺度的频域解释 161
γ（T）和g（ω）之间的关系 161
频率原点附近g（ω）的特点 162
两族相关模型的结果 163
“θ=0”的窄带过程的方差函数 165
5.3 局部积分或局部平均的协方差 167
局部积分的代数关系 167
局部积分或局部平均之间的相关性 168
点值与局部平均之间的协方差 170
按局部平均进行分解 171
局部平均过程的协方差函数 172
5.4 均方导数和谱矩 173
均方导数的存在性 173
局部平均过程的均方导数 174
谱矩和谱带宽 176
5.5 水平穿越与极值统计量 178
平均上穿率 179
极值分布 179
水平穿越的其他统计量 180
5.6 不变性与再生性 180
线性变换的不变性 180
局部平均的不变性 181
再生性 182
白噪声和泊松过程的相关结果 183
5.7 随机序列和点过程的类似结果 184
随机序列：方差函数 184
涨落尺度 185
移动平均的协方差 185
5.8 涨落尺度在最优采样中的作用 186
5.9 复合随机过程与尺度谱 188
基本关系 188
复合随机过程模型的推广 190
尺度谱 191
第6章 二维局部平均过程 195
6.1 方差函数和相关性测度 195
s（ω1，ω2）在频域零点附近的特征 197
单向随机波动 199
6.2 重要特例 200
相关结构象限对称 200
相关结构可分 200
各向同性相关结构 201
椭圆相关结构 202
6.3 条件方差函数和涨落尺度 203
条件方差函数 203
条件涨落尺度 204
更为严谨的二阶描述 208
6.4 局部平均的协方差 210
随机有限元分析 211
局部平均的协方差函数 212
联合谱矩 214
6.5 水平穿越和极值的统计量 215
方向依赖的局部平均过程的水平穿越 215
穿越高阈值的区域平均大小 216
超过高阈值水平的局部最大值的平均出现率 217
6.6 二维均匀随机场的不变量 217
线性变换的不变性 217
空间局部平均下的不变性 218
二维白噪声 218
6.7 空间-时间过程：频率依赖的涨落尺度 219
背景 219
频率依赖的空间涨落尺度 220
物理解释 221
频率依赖的空间涨落尺度的性质 222
二维空间-时间相关结构举例 224
6.8 空间-时间过程：频率依赖的方差函数 226
第7章 多维局部平均过程 229
7.1 方差函数与相关性测度 230
低阶相关性测度 233
三维情形 233
线性变换下的不变性 235
复合随机场和多尺度随机场 236
7.2 条件方差函数和相关性测度 237
相关涨落尺度 238
向n维随机场的推广 240
相关结构的极限形式 241
7.3 频率依赖的空间变异性 242
频率依赖的空间相关性测度 243
频率依赖的相关性测度的函数形式 244
频率依赖的方差函数 246
7.4 几类易于处理的空间-时间相关模型 248
三维空间-时间过程族 248
四维空间-时间过程族 249
7.5 局部平均的协方差 250
一般关系式 250
三维情形 251
局部平均场的协方差函数 252
7.6 随机有限元分析 253
最佳线性估计 254
7.7 局部平均场的偏导数 256
三维情形 256
n维情形 257
7.8 高阈值穿越与极值的统计 258
五步推导 258
高斯随机场 259
Rayleigh包络场 260
关于极大值的Gumbel分布 260
多尺度随机场的极值 261
第8章 总结 263
引言 263
定义和记号 264
谱带宽因子 265
阈值穿越与极值统计量 266
一维随机过程的局部平均理论 266
均匀随机场的局部平均理论 268
重要的有关概念和方法 269
基于量子物理的随机变量和随机场 271
参考文献 273
索引 283