第一部分 一元函数微分学 1
一、概念、原理的理解、表述和背景 3
1．弧度制的起源和弧度的优点 3
2．奇异的数e——它的来源及其为无理数的证明 4
3．ε-N方法的思维方式和美学意境 8
4．复合函数概念的简易表述 12
5．关于导数和微分的一些历史注记 13
6．用单位解释导数的意义 15
7．关于导数记号？与f'（x）的说明 16
8．反三角函数导数公式的另一推导方式 17
9．导数运算的除法法则的另一证明方法 17
10．关于复合函数微分法的另一证明方法 18
11．参数式函数二阶导数的一种简易求法 19
12．大师也会犯初级错误：函数乘积的导数公式 20
13．“两个错误之和等于正确”：关于幂指函数求导的趣事 21
14．导数的新应用：利用导数知识调控计算机所作的函数图形 21
15．泰勒公式余项绝对值上界的另一证明方法 23
16．关于不定式极限的一个注记 24
17．注重直觉思维能力的培养 25
18．17世纪微积分面临的巨大危机 28
二、例题、习题精选及题解 31
第二部分 一元函数积分学 87
一 概念、原理的理解、表述和背景 89
1．不定积分和定积分的历史纠结 89
2．定积分概念的简化：两个任意还是一个任意？ 90
3．莱布尼茨的积分概念表述 91
4．关于定积分记号的历史注记 92
5．建立牛顿一莱布尼茨公式的另一途径 92
6．微分和积分的互逆关系 94
7．极坐标曲线ρ=ρ（？）切线的求法及其在积分定限中的应用 95
8．利用积分上限函数定义自然对数函数 98
9．双曲函数与三角函数一个类似的性质 102
10．奇妙的旋轮线，及其等时性和为最速降线的证明 104
二、例题、习题精选及题解 110
第三部分 多元函数微积分学 171
一、概念、原理的理解、表述和背景 173
1．二元函数“一次只改变一个变量的”研究策略 173
2．偏导数在实际问题中的解释 177
3．二元函数微分概念的另一种表述方式 179
4．二元函数微分在误差控制中的应用 180
5．等值线图应用面面观 182
6．变量的单位和梯度的几何解释 194
7．条件极值的图形解法及拉格朗日乘子的意义 194
8．拉格朗日乘子法的几何解释及条件极值的对偶原理 197
9．条件极值与罚函数 199
10．对一个传统的二元函数极值问题的不同解法及思考 201
11．曲面面积公式的另一导出方式 207
12．格林公式的向量形式 208
二、例题、习题精选及题解 211
第四部分 级数与微分方程 237
一、概念、原理的理解、表述和背景 239
1．登山、芝诺悖论与无穷级数 239
2．使无穷级数概念的引入更生动深刻些 241
3．级数在经济学中的应用举例——单利、复利、年金的计算及应用 243
4．欧拉怎样证明？ 247
5．关于傅里叶级数收敛条件的表述 249
二、例题、习题精选及题解 253
级数例题和习题精选 253
微分方程例题和习题精选 278
第五部分 微积分projects精选及参考解答 295
1．飞机驾驶员从何处开始降落？ 297
2．如何修建环形滑车道？ 299
3．贝齐尔（Bézier）曲线 302
4．电影院里座位的选择 306
5．血管和管道的最优分叉角度 308
6．罐头的经济尺寸问题 312
7．如何标出椭圆柱油罐中油量的刻度 317
8．种群数量增长的微分方程模型 318
9．种群增长的离散模型 322
10．两个种群数量相互影响的微分方程组模型 326
11．上抛物体究竟是上升快还是下落快？ 333
12．如何确定产品制造中的学习曲线及产品的重新定价问题 336
13．两个强度相等的光源的照度问题 340
14．柯布－道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数 346
15．水力涡轮发电机的最优化 348
16．三个圆柱的交 352
17．肿瘤的图形模拟与表面积的计算 355
参考文献 357