第1部分 微分流形 1
第1章 预备知识 1
1.1 什么是流形 1
1.2 在流形中引入坐标与微分结构 3
1.3 切空间和余切空间 9
1.4 微分形式与外微分 13
1.5 流形的定向和微分形式的积分 17
第2章 切向量和余切向量的一些性质和运算 17
2.1 切向量场和余切向量场的映射变换 24
2.2 子流形及层状结构 27
2.3 李导数Lx 30
2.4 内积算子ix和三个Cartan公式 32
2.5 齐李群空间 37
2.6 李群空间上的不变向量场和不变余向量场 40
第3章 曲率张量和挠率张量、协变微分、伴随外微分 40
3.1 协变微分与联络 45
3.2 流形上向量的迁移及曲率和挠率 50
3.3 曲率张量和挠率张量的结构方程和可积条件 56
3.4 Hodge*和伴随外微分 59
第4章 黎曼几何 68
4.1 黎曼度量 68
4.2 Levi-Civita平行输运、黎曼联络、曲率张量 73
4.3 两个有趣的例子 79
4.4 n维黎曼流形上的四脚标架场 83
4.5 黎曼流形上的共形变换群（流形维数＞2） 85
4.6 黎曼流形上的共形变换群（流形维数n=2） 89
第5章 复流形 92
5.1 复流形和它的特点 92
5.2 矢量空间上的复结构和近复流形 94
5.3 近厄米流形、厄米流形、厄米联络 98
5.4 K？hler流形 103
第2部分 整体拓扑性质 112
第6章 流形的同伦性质与同伦群 112
6.1 同伦映射 112
6.2 基本群Ⅱ1（M,xo） 115
6.3 同伦群的结构与同态序列 119
6.4 高阶同伦群 126
6.5 n维球Sn的同伦群 129
第7章 同调论与de Rham上同调论 131
7.1 整同调群 131
7.2 同调群与连通性、定向性的关系 140
7.3 通过对偶同态引入上同调群 143
7.4 de Rham上同调论 146
7.5 调和形式Harmk（M,R） 151
第8章 纤维丛及其拓扑结构 153
8.1 什么是纤维丛 153
8.2 纤维丛与截面 157
8.3 几种有代表性的纤维丛 159
8.4 其他各种纤维丛举例 164
8.5 万有丛和分类空间 167
第9章 纤维丛上的联络与曲率 171
9.1 一般向量丛上的联络 171
9.2 有关向量丛上曲率的几个说明 176
9.3 主丛上的联络 179
9.1 伴向量丛上的联络 188
第10章 纤维丛的示性类与曲率张量 192
10.1 不变多项式与示性类 192
10.2 复向量丛上的陈示性类 199
10.3 实向量丛上的庞特里亚金示性类 203
10.4 实定向偶维向量丛上的欧拉示性类 205
10.5 实向量丛上的斯蒂菲尔-惠特尼示性类 210
10.6 陈-Simons示性类 211
第3部分 指标定理和四维流形 211
第11章 无边界流形的指标定理 211
11.1 椭圆微分算子与解析指标 211
11.2 椭圆复形与Atiyah-Singer指标定理 222
11.3 de Rham复形与Gauss-Bonnet定理 230
第12章 四维流形的一些重要性质 242
12.1 S4上非平庸瞬子解（*F=F）和Bianchi恒等式 242
12.2 自对偶联络A（∈A1g）的模空间维数 252
12.3 单连通4-流形的拓扑分类 262
12.4 Donaldson定理 270
12.5 Taubes定理 273