第1章 数学情真 国学会意 1
1.1 数学思想与国学底蕴——记丘成桐教授谈古典文史 1
1.2 “入能写之”与“出能观之”——谈王国维论诗词写作与数学欣赏 8
1.3 考据训诂导致逻辑推断——论乾嘉学派对数学的影响 11
第2章 无限数系 人文溯源 17
2.1 自然数系与《道德经》 17
2.2 物以类聚，人以群分——分数的“等价类”与“家族起源”的类比 21
2.3 “无边落木”与“滚滚长江”——实无限和潜无限的数学价值 25
2.4 有理无理，微分积分——近代中日数学交流片断 33
第3章 方程函数 关系为本 40
3.1 “过河取宝”还是“栓线拉宝”——算术和代数思维方向的差异 40
3.2 宏观的变量与微观的对应——初、高中两种函数定义的比较 44
3.3 函数之动与方程之静——“鸟鸣山更幽”的意境 47
3.4 云深不知处，只在此山中——纯粹存在性数学定理的人文意境 51
第4章 直观几何 理性精神 56
4.1 民主体制与王权统治——从“对顶角相等”要不要证明谈起 56
4.2 几何的对称与文学的对仗——寻求变化中的不变量 60
4.3 要不要相信自己的眼睛——从狗追骨头走直线说起 64
4.4 “源于定位”但“高于定位”——平面直角坐标系欣赏 69
4.5 向量的三代家世——原始人、社会人和现代人 76
4.6 4维时空和N维空间——从陈子昂的《登幽州台赋》说起 81
第5章 数学欣赏 文史寻根 86
5.1 诗歌与数学的情景交融 86
5.2 数学的和谐美——读白居易“寄韬光禅师” 90
5.3 “识以领之，方能中鹄”——兼谈打麻将为什么不能产生概率论 95
第6章 “一尺之棰”和“孤帆远影”——谈数学中的极限 101
6.1 极限的意境 101
6.2 数列极限严格定义的欣赏 106
6.3 函数的极限与连续 111
6.4 无穷小量——早期微积分学有效但不严谨 116
第7章 无穷小之比——“局部”为本 120
7.1 曲线的切线 121
7.2 考察瞬时速度与“飞矢不动” 124
7.3 函数的导数定义 127
7.4 牛顿时代的微积分：能抓住老鼠的就是好猫——早先怎样求y=xn的导数 129
7.5 局部与整体沟通的桥梁——微分中值定理 132
第8章 累积微分 溯源整体 134
8.1 可以意会难以言传的“面积”概念——古代求曲线图形面积的艰难 134
8.2 分成局部，积成整体——走近“定积分” 141
8.3 更上一层楼：寻找原函数 147
8.4 一桥飞架南北，天堑变通途——牛顿－莱布尼茨公式 149
8.5 千树万树梨花开——积分学的应用 153
第9章 微分搭台 方程唱戏 157
9.1 开创“方程”的新局面——初识微分方程 157
9.2 坐地日行八万里——遥看“微分几何” 164
附录一 微积分之歌 173
（一）整体与局部 173
（二）超越悖论 174
（三）微分 175
（四）“中值定理” 175
（五）积分 176
（六）微积分的成长 177
附录二 从0.9999…=1说起 179
（一）不是证明的“证明” 179
（二）实数是具有相同极限“无穷数列”构成的等价类 181
参考文献 185