第1章Matlab简介 1
1.1向量和矩阵的产生 1
1.1.1向量的产生 1
1.1.2矩阵的产生 2
1.2运算符及矩阵运算 5
1.2.1运算符 5
1.2.2矩阵运算 6
1.3函数库 8
1.3.1初等函数 8
1.3.2矩阵函数 8
1.3.3多项式和插值拟合函数 9
1.3.4数值线性代数 9
1.3.5数值积分和常微分方程数值解 10
1.4 Matlab程序设计初步 10
1.4.1 M文件 10
1.4.2控制语句 12
1.4.3数据的输入和输出 14
1.4.4绘图功能 15
实验题 18
第2章 数值分析的若干基本概念 20
2.1数值分析的研究对象 20
2.1.1数值分析的研究对象与意义 20
2.1.2计算机解决科学计算问题时经历的几个过程 23
2.2数值计算的误差 23
2.2.1误差的分类 23
2.2.2误差与有效数字 24
2.3数值计算中误差的传播 26
2.3.1 Taylor公式、大O记号与广义积分中值定理 26
2.3.2求函数值和算术运算的误差估计 28
2.3.3用差商近似代替导数的误差估计 29
2.4数值稳定性与避免误差伤害 31
2.4.1算法的数值稳定性 31
2.4.2数值计算中应该注意的问题 33
2.5舍入误差与数值稳定性数值实验 35
习题 38
实验题 38
第3章 线性代数方程组的数值解法 40
3.1引言 40
3.2 Gauss消元法 41
3.2.1 Gauss消元法的基本思想 41
3.2.2列主元Gauss消元法 44
3.3矩阵的直接分解法 46
3.3.1 Gauss消元法的矩阵形式 46
3.3.2 Cholesky分解法 50
3.4三对角方程组的求解方法 52
3.4.1解三对角方程组的算法1（基于Crout分解的追赶法） 52
3.4.2解三对角方程组的算法2（基于Gauss消元的追赶法） 54
3.4.3解三对角方程组的算法3（递推算法） 56
3.5向量范数和矩阵范数 57
3.5.1向量范数 57
3.5.2矩阵范数 59
3.5.3方程组的状态与条件数 60
3.6解线性代数方程组的迭代法 61
3.6.1迭代原理 62
3.6.2 Jacobi迭代法 62
3.6.3 Gauss-Seidel迭代法 63
3.6.4超松弛（SOR）法 64
3.6.5收敛性分析 64
3.7数值实验 71
3.7.1列主元Gauss消元法 71
3.7.2方程组的状态与条件数 74
3.7.3 Jacobi与Gauss-Seidel迭代法 77
3.7.4超松弛迭代法 81
习题 82
实验题 87
第4章 非线性方程求根、非线性方程组数值解法初步 90
4.1问题的提出 90
4.2区间搜索法及二分法 91
4.2.1方程求根需注意的两个问题 91
4.2.2区间搜索法 91
4.2.3二分法（对分法） 91
4.3迭代法 93
4.3.1迭代法的基本思想 93
4.3.2简单迭代法 93
4.3.3迭代法局部收敛性 96
4.3.4迭代法的收敛速度 97
4.3.5不动点迭代算法 98
4.4迭代加速技术 98
4.4.1 Aitken加速法 98
4.4.2 Steffensen迭代法 100
4.5 Newton法 101
4.5.1 Newton法公式的导出 101
4.5.2 Newton法的局部收敛性 102
4.5.3 Newton下山法 104
4.5.4 Newton迭代法的优缺点及算法 105
4.6弦截法 105
4.6.1单点弦截法 105
4.6.2单点弦截法的收敛性 106
4.7非线性方程组的解法 107
4.7.1不动点迭代法 107
4.7.2解非线性方程组的Newton法 109
4.7.3拟Newton法 110
4.8数值实验 113
4.8.1二分法 113
4.8.2不动点迭代 115
4.8.3 Aitken加速收敛方法 116
4.8.4 Newton迭代法 117
4.8.5弦截法 118
4.8.6拟Newton法 119
习题 121
实验题 122
第5章 插值法 125
5.1代数插值问题 125
5.1.1问题的提出 125
5.1.2插值函数的基本概念 125
5.1.3代数插值多项式 126
5.2 Lagrange插值 127
5.2.1 Lagrange插值公式的导出 127
5.2.2线性插值与抛物线插值 129
5.2.3插值多项式的余项 131
5.3差商与Newton插值公式 134
5.3.1差商及其性质 135
5.3.2 Newton插值公式 137
5.4差分与等距节点插值公式 139
5.4.1差分的概念 139
5.4.2差分与差商的关系 140
5.4.3等距节点的插值公式 141
5.5 Hermite插值 142
5.5.1 Hermite插值问题 142
5.5.2误差估计 144
5.6分段低次插值 147
5.6.1高次插值的误差分析 147
5.6.2分段线性插值 149
5.6.3分段线性插值的误差分析 149
5.7三次样条插值 150
5.7.1三次样条插值函数 151
5.7.2三次样条插值函数的求法 152
5.8多元函数插值 157
5.8.1二元函数的双线性插值方法 157
5.8.2三角形区域上的线性插值 158
5.9数值实验 159
5.9.1 Lagrange插值多项式 159
5.9.2高次插值的Runge现象 161
5.9.3样条插值 161
5.9.4多元插值 161
5.9.5插值运算的MATLAB函数 165
习题 167
实验题 170
第6章 曲线拟合、函数逼近初步 171
6.1曲线拟合的最小二乘法 171
6.1.1最小二乘法的发现历史 171
6.1.2最小二乘法原理 172
6.2 ||·||1和||·||∞意义下的线性拟合 178
6.2.1||·||1意义下的线性拟合 179
6.2.2||·||∞意义下的线性拟合 179
6.3超定方程组的最小二乘解 180
6.4最佳平方逼近 182
6.4.1最佳平方逼近问题的提法 182
6.4.2最佳平方逼近的解法 182
6.5最佳一致逼近 184
6.6数值实验 188
6.6.1最小二乘法 188
6.6.2函数线性组合曲线拟合法 191
习题 193
实验题 194
第7章 数值微积分 196
7.1数值积分问题的提出 196
7.2插值型求积公式 197
7.2.1插值型求积公式的导出 197
7.2.2求积公式的代数精度 198
7.3 Newton-Cotes公式 200
7.3.1 Newton-Cotes公式的导出 200
7.3.2误差分析 201
7.3.3数值稳定性 202
7.3.4复合Newton-Cotes公式 203
7.4 Romberg求积方法 204
7.4.1 Romberg算法 204
7.4.2 Romberg求积公式 206
7.5 Gauss求积公式 209
7.5.1 Gauss积分问题的提出 209
7.5.2不带权的Gauss求积公式 210
7.5.3带权的Gauss求积公式 215
7.6数值微分 216
7.6.1 Taylor展开法 217
7.6.2插值型求导公式 219
7.7数值实验 221
7.7.1复合求积 221
7.7.2 Romberg求积 224
7.7.3广义积分 225
习题 225
实验题 228
第8章 常微分方程数值解法 230
8.1 Euler法 230
8.1.1 Euler公式 230
8.1.2隐式Euler公式 231
8.1.3梯形公式 231
8.1.4两步Euler法 233
8.1.5改进的Euler法 234
8.2 Runge-Kutta方法 234
8.2.1 Taylor展开方法 234
8.2.2 Runge-Kutta方法的基本思想 236
8.2.3二阶Runge-Kutta方法 237
8.2.4三阶Runge-Kutta方法 238
8.2.5四阶Runge-Kutta方法 239
8.2.6变步长Runge-Kutta方法 240
8.3线性多步法 241
8.3.1线性多步法的基本思想 241
8.3.2 Adams内插公式 241
8.3.3 Adams外推公式 242
8.3.4 Adams预测校正公式 244
8.4一阶方程组和高阶方程 244
8.4.1一阶方程组 244
8.4.2化高阶方程为一阶方程组 245
8.5单步法的收敛性与稳定性 247
8.5.1单步法的收敛性 247
8.5.2单步法的绝对稳定性 248
8.6数值实验 250
8.6.1 Euler方法 250
8.6.2 Runge-Kutta方法 253
习题 257
实验题 260
第9章 矩阵特征值与特征向量的计算 261
9.1问题的提出 261
9.2乘幂法和反幂法 262
9.2.1乘幂法 262
9.2.2乘幂法的其他复杂情况 265
9.2.3乘幂法的加速 265
9.2.4反幂法（又称逆代法） 267
9.3 Jacobi方法 268
9.3.1 Jacobi方法的理论依据 268
9.3.2古典Jacobi方法 273
9.3.3过关古典Jacobi方法 273
9.4 QR算法 273
9.4.1 Householder变换 274
9.4.2化一般矩阵为拟上三角矩阵 275
9.4.3矩阵的正交三角分解 276
9.4.4 QR算法 277
9.5数值实验 278
9.5.1乘幂法 278
9.5.2反幂法 283
习题 284
实验题 285
习题答案与提示 286
参考文献 333