第一章 函数与极限 1
第一节 函数 1
一、函数的概念 1
二、函数的几种特性 3
三、初等函数 4
四、分段函数 6
习题1-1 6
第二节 极限 7
一、数列的极限 7
二、函数的极限 8
习题1-2 12
第三节 极限的运算法则 13
一、无穷小量 13
二、无穷大量 14
三、无穷小与无穷大的关系 14
四、无穷小量的性质 15
五、极限的运算法则 16
六、两个重要极限 18
习题1-3 22
第四节 无穷小量的比较 23
习题1-4 24
第五节 函数的连续性与间断点 25
一、函数的增量 25
二、函数的连续性 26
三、函数的左、右连续 26
四、函数的间断点 27
五、连续函数的性质及初等函数的连续性 28
习题1-5 30
小结 31
第二章 导数与微分 32
第一节 导数概念 32
一、变速直线运动的速度及平面曲线的切线斜率 32
二、导数的定义 33
三、求导举例 33
四、函数的可导性与连续性之间的关系 35
习题2-1 36
第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 36
一、可导函数的和、差的求导法则 36
二、可导函数积的求导法则 37
三、可导函数商的求导法则 38
习题2-2 39
第三节 复合函数的求导法则 40
习题2-3 42
第四节 基本初等函数的导数及初等函数的求导问题 42
一、指数函数的导数 42
二、反三角函数的导数 43
三、初等函数的求导问题 44
习题2-4 45
第五节 高阶导数 46
习题2-5 47
第六节 隐函数的导数 47
一、隐函数的导数 47
二、对数求导法 49
习题2-6 49
第七节 函数的微分及其应用 50
一、微分的概念 50
二、微分的几何意义 51
三、微分的基本公式 52
四、复合函数的微分 53
五、利用微分作近似计算 53
六、利用微分作误差估计 54
习题2-7 56
小结 56
第三章 导数的应用 58
第一节 微分中值定理 58
习题3-1 61
第二节 函数单调性与凹凸性的判别法 61
一、函数单调性的判别法 61
二、函数的凹凸性及其判别法 64
三、曲线的渐近线 67
四、函数作图 67
习题3-2 69
第三节 函数的极值与最大、最小值 70
一、函数的极值及其求法 70
二、最大值与最小值问题、最优化问题 73
习题3-3 75
第四节 洛必达法则 77
一、洛必达法则 77
二、其它类型的不定式 79
习题3-4 80
小结 81
第四章 不定积分 82
第一节 不定积分的概念与性质 82
一、原函数 82
二、不定积分 82
三、基本积分表 83
四、不定积分的性质 84
习题4-1 85
第二节 换元积分法 85
一、第一类换元法 85
二、第二类换元法 88
习题4-2 90
第三节 分部积分法 91
习题4-3 93
第四节 积分表的使用 93
习题4-4 94
小结 95
第五章 定积分及其应用 96
第一节 定积分的概念与性质 96
一、曲边梯形的面积 96
二、变速直线运动的路程 97
三、定积分的定义 98
四、定积分的性质 100
习题5-1 101
第二节 定积分的计算 102
一、微积分基本公式 102
二、定积分的换元法 105
三、定积分的分部积分法 107
四、定积分的近似计算 108
习题5-2 111
第三节 广义积分 111
一、无穷区间上的广义积分 111
二、无界函数的广义积分 113
三、Г—函数 114
习题5-3 115
第四节 定积分的应用 116
一、元素法 116
二、定积分在几何上的应用 117
三、定积分在物理上的应用 121
四、定积分在生物医学上的应用 123
习题5-4 124
小结 125
第六章 微分方程 127
第一节 微分方程的基本概念 127
一、微分方程的引入 127
二、微分方程的基本概念 128
习题6-1 128
第二节 一阶微分方程 129
一、可分离变量的微分方程 129
二、一阶线性微分方程 130
习题6-2 133
第三节 几种特殊类型的微分方程 134
一、齐次方程 134
二、伯努利方程 134
三、可降阶的高阶微分方程 135
习题6-3 137
第四节 二阶常系数线性齐次微分方程 137
一、二阶线性微分方程解的结构 138
二、二阶常系数线性齐次微分方程 138
习题6-4 139
小结 139
第七章 多元函数及其微分 140
第一节 空间直角坐标系 140
一、空间点的直角坐标 140
二、空间两点间的距离 141
习题7-1 142
第二节 空间的曲面与曲线 142
一、曲面的方程 142
二、柱面 144
三、空间曲线及其在坐标面上的投影 145
习题7-2 146
第三节 多元函数的极限及连续性 147
一、多元函数的概念 147
二、二元函数的定义域 148
三、二元函数的几何意义 149
四、二元函数的极限 149
五、二元函数的连续性 150
习题7-3 151
第四节 偏导数 151
一、偏导数的概念 151
二、偏导数的几何意义 152
三、高阶偏导数 153
四、复合函数的偏导数 153
习题7-4 154
第五节 全微分及其应用 155
一、全微分的概念 155
二、全微分在近似计算中的应用 156
习题7-5 157
第六节 二元函数的极值 157
一、二元函数的极值及其求法 157
二、二元函数的最大值与最小值 159
习题7-6 160
第七节 最小二乘法及其应用 160
习题7-7 163
小结 164
第八章 二重积分 165
第一节 二重积分的概念与性质 165
一、曲顶柱体的体积 165
二、二重积分的几何意义 167
三、二重积分的性质 167
习题8-1 168
第二节 二重积分的计算 168
一、利用直角坐标计算二重积分 168
二、利用极坐标计算二重积分 172
习题8-2 174
第三节 二重积分的应用 175
一、利用二重积分计算曲顶柱体的体积及平面图形的面积 175
二、二重积分在静力学上的应用 176
习题8-3 178
小结 179
第九章 数学模型在生物医学中的应用 181
第一节 数学模型的建立 181
一、数学模型研究的内容 181
二、数学模型的分类 181
三、建立数学模型的一般方法 182
习题9-1 183
第二节 流行病学中的催化模型 183
一、简单催化模型 183
二、可逆催化模型 185
三、两期催化模型 185
习题9-2 186
第三节 人口增长的数学模型 187
一、马尔萨斯人口增长模型 187
二、改进的人口增长模型 188
三、Logistic模型的其它用途 189
习题9-3 190
第四节 药物作用动力学的房室模型 190
一、快速静脉注射的一室模型 190
二、二室模型 192
三、三室模型 195
习题9-4 196
第五节 食者—被食者模型 196
一、连续的食者—被食者模型 196
二、离散的食者—被食者模型 198
习题9-5 199
小结 199
第十章 线性代数初步 200
第一节 行列式 200
一、逆序数的概念 200
二、n阶行列式的定义 201
三、行列式的性质 202
四、行列式的计算 203
五、利用行列式解线性方程组 205
习题10-1 207
第二节 矩阵的概念和运算 207
一、线性变换与矩阵 207
二、矩阵的运算 209
习题10-2 212
第三节 逆阵 213
一、线性方程组的矩阵表示 213
二、逆阵的概念 214
三、逆阵的求法 214
习题10-3 216
第四节 矩阵的初等变换及其应用 217
一、矩阵的秩 217
二、矩阵的初等变换 218
三、利用初等变换求方阵的逆阵 219
四、利用矩阵的初等变换解线性方程组 219
习题10-4 223
第五节 方阵的特征值与特征向量 223
习题10-5 226
小结 226
第十一章 概率论基础 228
第一节 随机事件及其概率 228
一、随机事件 228
二、事件间的关系及运算 228
三、随机事件的概率 231
习题11-1 233
第二节 概率的运算性质及其应用 233
一、概率的运算性质 233
二、条件概率与乘法定理 235
三、全概率公式与贝叶斯公式 236
四、事件的独立性 238
习题11-2 240
第三节 随机变量及其概率分布 240
一、随机变量的概念 240
二、离散型随机变量的概率分布 241
三、连续型随机变量的概率密度函数 242
四、随机变量的分布函数 243
五、五种常见的随机变量的分布 245
习题11-3 251
第四节 随机变量的数字特征 253
一、数学期望 253
二、方差 256
三、标准差与变异系数 259
习题11-4 259
第五节 大数定理与中心极限定理 260
一、大数定理 260
二、中心极限定理 261
小结 262
实验 263
实验一 计算机函数作图 263
实验二 用Mathematica软件求函数极限 265
实验三 导数概念 导数计算 牛顿法 266
实验四 用Mathematica计算不定积分、定积分和进行数值积分 268
实验五 解微分方程 一阶微分方程数值解——欧拉法 269
实验六 数据拟合与曲线拟合 273
附录Ⅰ 数学软件Mathematica简介 275
附录Ⅱ 简明积分表 283
附录Ⅲ 标准正态分布表 292
附录Ⅳ 泊松分布表 293
习题答案与提示 295
参考文献 313