第一篇 微积分 1
第一章 函数、极限和连续 1
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 1
一、函数的基本性质 1
二、分段函数 5
三、反函数 5
四、复合函数 6
五、初等函数 9
六、函数的极限及其连续性 9
七、重要公式和定理 12
第2节 重要题型的解题方法和技巧 19
题型一 未定式的定值法 19
题型二 类未定式的计算 23
题型三 数列的极限 24
题型四 极限式中常数的确定（重点） 29
题型五 函数连续或间断点的判定 32
第3节 思维定势及综合题解析 34
一、思维定势 34
二、综合题解析 38
习题一 39
第二章 导数与微分 43
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 43
一、导数与微分的定义 43
二、重要定理 45
三、导数与微分的运算法则 45
四、基本公式 45
五、高阶导数的定义与基本公式 46
第2节 重要题型的解题方法和技巧 46
题型一 求复合函数的导数或微分 46
题型二 求隐函数的导数或微分 48
题型三 求幂指函数的导数或微分 48
题型四 求表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分 49
题型五 求分段函数的导数或微分 49
题型六 求高阶导数 51
第3节 思维定势及综合题解析 54
一、思维定势 54
二、综合题解析 54
习题二 56
第三章 不定积分 60
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 60
一、不定积分的基本概念 60
二、基本性质 60
三、基本公式 61
四、基本积分法 62
第2节 重要题型的解题方法和技巧 75
题型一 有理函数的不定积分 75
题型二 简单无理函数的不定积分 76
题型三 三角有理式的不定积分 77
题型四 含有反三角函数的不定积分 81
题型五 抽象函数的不定积分 81
题型六 分段函数的不定积分 82
第3节 思维定势及综合题解析 83
一、思维定势 83
二、综合题解析 84
习题三 86
第四章 定积分及反常积分 90
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 90
一、基本性质 90
二、定理和公式 93
三、定积分的计算法 96
四、反常积分的基本概念 100
第2节 重要题型的解题方法和技巧 101
题型一 分段函数的定积分 101
题型二 被积函数带有绝对值符号的定积分 103
题型三 被积函数中含有“变限积分”的定积分 104
题型四 对称区间上的定积分 106
题型五 被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的定积分 107
题型六 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或复合而成的定积分 108
题型七 已知一定积分，求另一定积分 109
题型八 定积分等式的证明 110
题型九 定积分不等式的证明 118
题型十 计算反常积分 123
题型十一 反常积分的判敛 124
第3节 思维定势及综合题解析 125
一、思维定势 125
二、综合题解析 126
习题四 127
第五章 微分中值定理 131
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 131
第2节 重要题型的解题方法和技巧 132
题型一 闭区间上连续函数命题的证明 132
题型二 证明给出的函数f （x）满足某中值定理 135
题型三 证明某个函数恒等于一个常数的命题 136
题型四 命题f（n） （ξ）=0的证明 137
题型五 欲证结论：至少存在一点ξ？（a,b），使得f（n）（ξ）=k（k≠0）或由a,b，f （a），f （b），ξ,f（ξ），f′（ξ），&，f（n） （ζ）所构成的代数式成立 138
题型六 欲证结证：在（a, b），内至少存在ξ, η（ξ≠η）满足某个代数式 141
第3节 思维定势及综合题解析 142
一、思维定势 142
二、综合题解析 144
习题五 146
第六章 常微分方程与差分方程 148
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 148
一、基本概念 148
二、二阶线性微分方程解的结构 148
三、二阶常系数线性微分方程 150
四、n阶常系数线性微分方程 150
五、差分方程 153
第2节 重要题型的解题方法和技巧 153
题型一 一阶微分方程的计算 153
题型二 计算二阶线性微分方程 161
题型三 计算一阶线性差分方程 164
题型四 微分方程的应用 166
第3节 思维定势及综合题解析 167
一、思维定势 167
二、综合题解析 168
习题六 169
第七章 一元微积分的应用 172
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 172
一、函数的单调增减性定理 172
二、函数的极值与最值 173
三、函数凹凸性的判别与函数的拐点 174
四、微元法及其应用 176
第2节 重要题型的解题方法和技巧 177
题型一 求函数的极值 177
题型二 求函数的最值 178
题型三 关于方程根的讨论 179
题型四 函数渐近线的求解 184
题型五 函数作图 184
题型六 求平面图形的面积 185
题型七 求旋转体的体积 187
第3节 思维定势与综合题解析 188
一、思维定势 188
二、综合题解析 190
习题七 192
第八章 无穷级数 195
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 195
一、无穷级数的基本概念和性质 195
二、数项级数判敛法 196
三、函数项级数的概念 201
四、幂级数的概念和性质 201
第2节 重要题型的解题方法和技巧 203
题型一 正项级数的判敛 203
题型二 任意项级数的判敛 205
题型三 级数的证明或判敛 207
题型四 计算函数项级数收敛域 209
题型五 求幂级数的收敛域、收敛半径 210
题型六 函数在某点的幂级数展开 212
题型七 幂级数求和 214
题型八 数项级数求和 218
第3节 思维定势及综合题解析 221
一、思维定势 221
二、综合题解析 222
习题八 223
第九章 多元函数微分学 227
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 227
一、二元函数的定义 227
二、二元函数的极限及连续性 228
三、偏导数、全导数及全微分 229
四、基本定理 230
五、多元函数的极值 232
六、条件极值与无条件极值 233
第2节 重要题型的解题方法和技巧 233
题型一 简单显函数u= f （x, y,z）的微分法 233
题型二 复合函数微分法 234
题型三 隐函数微分法 237
题型四 求无条件极值 240
题型五 求条件极值 241
题型六 求最值 242
第3节 思维定势及综合题解析 243
一、思维定势 243
二、综合题解析 243
习题九 244
第十章 二重积分 247
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 247
一、基本概念 247
二、性质 247
三、二重积分的解题技巧 249
第2节 重要题型的解题方法和技巧 251
题型一 更换二重积分的积分次序 251
题型二 选择二重积分的积分次序 253
题型三 二重积分坐标系的选择 255
题型四 含绝对值、最值符号的二重积分的计算 257
题型五 无界区域上简单二重积分的计算 260
题型六 二重积分等式的证明 261
题型七 二重积分不等式的证明 262
第3节 思维定势及综合题解析 264
一、思维定势 264
二、综合题解析 265
习题十 266
第十一章 函数方程与不等式证明 269
第1节 函数方程 269
一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程 269
二、利用极限求解函数方程 270
三、利用导数的定义求解方程 271
四、利用变限积分的可导性求解方程 271
五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解 272
第2节 不等式的证明 273
一、引人参数法 273
二、利用微分中值定理 274
三、利用函数的单调增减性（重点） 276
四、利用函数的极值与最值 278
五、利用函数图形的凹凸性 279
六、利用泰勒展开式 280
七、杂例 281
习题十一 282
第十二章 微积分在经济中的应用 285
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 285
第2节 重要题型的解题方法和技巧 286
题型一 一元微积分在经济中的应用 286
题型二 二元微分学在经济中的应用 291
习题十二 292
第二篇 线性代数 293
第一章 行列式 293
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 293
一、排列与逆序 293
二、n阶行列式的定义 294
三、行列式的基本性质 295
四、行列式按行（列）展开定理 298
五、重要公式与结论 299
第2节 重要题型的解题方法和技巧 300
题型一 抽象行列式的计算 300
题型二 低阶行列式的计算 301
题型三n阶行列式的计算 302
第3节 思维定势与综合题解析 308
一、思维定势 308
二、综合题解析 308
习题一 310
第二章 矩阵 313
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 313
一、矩阵的概念 313
二、矩阵的运算 313
三、逆矩阵的概念 316
四、利用伴随矩阵求逆矩阵 316
五、矩阵的初等变换与求逆 317
六、分块矩阵及其求逆 318
七、矩阵的秩及其求法 319
第2节 重要题型的解题方法和技巧 319
题型一 求逆矩阵 319
题型二 求矩阵的高次幂Am 321
题型三 有关初等矩阵的命题 323
题型四 解矩阵方程 324
题型五 求矩阵的秩 326
题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明 327
题型七 关于方阵A可逆的证明 327
题型八与A的伴随阵A有关联的命题的证明 328
题型九 关于矩阵秩的命题的证明 329
第3节 思维定势与综合题解析 331
一、思维定势 331
二、综合题解析 333
习题二 333
第三章向量 339
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 339
一、向量的概念与运算 339
二、向量间的线性关系 339
三、向量组的秩和矩阵的秩 340
四、向量空间 341
五、重要定理与公式 342
六、小结 343
第2节 重要题型的解题方法和技巧 343
题型一 讨论向量组的线性相关性 343
题型二 有关向量组线性相关性命题的证明 347
题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示 353
题型四 有关向量组线性表示命题的证明 355
题型五 求向量组的极大线性无关组 356
题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明 357
题型七 与向量空间有关的命题 361
第3节 思维定势与综合题解析 362
一、思维定势 362
二、综合题解析 363
习题三 364
第四章 线性方程组 368
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 368
一、克莱姆法则 368
二、线性方程组的基本概念 368
三、线性方程组解的判定 369
四、非齐次线性方程组与其导出组的解的关系 370
五、线性方程组解的性质 370
六、线性方程组解的结构 370
第2节 重要题型的解题方法和技巧 371
题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构） 371
题型二 含有参数的线性方程组解的讨论 375
题型三 讨论两个方程组的公共解 379
题型四 有关基础解系的证明 381
第3节 思维定势与综合题解析 382
一、思维定势 382
二、综合题解析 383
习题四 387
第五章 特征值和特征向量 392
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 392
一、矩阵的特征值和特征向量的概念 392
二、相似矩阵及其性质 392
三、矩阵可相似对角化的充要条件 393
四、实对称矩阵及其性质 393
五、重要公式与结论 393
第2节 重要题型的解题方法和技巧 394
题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量 394
题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量 396
题型三 特征值、特征向量的逆问题 397
题型四 相似的判定及其逆问题 398
题型五 判断A是否可对角化 400
题型六 有关特征值、特征向量的证明题 403
第3节 思维定势与综合题解析 405
一、思维定势 405
二、综合题解析 405
习题五 410
第六章 二次型 414
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 414
一、二次型及其矩阵表示 414
二、化二次型为标准型 414
三、配方法和正交变换法 415
四、二次型和矩阵的正定性及其判别法 416
第2节 重要题型的解题方法和技巧 419
题型一 二次型所对应的矩阵及其性质 419
题型二 化二次型为标准形 420
题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数 424
题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明 425
第3节 思维定势与综合题解析 427
一、思维定势 427
二、综合题解析 428
习题六 429
第三篇 概率论与数理统计 431
第一章 随机事件和概率 431
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 431
一、随机试验和随机事件 431
二、事件的关系及其运算 432
三、事件的概率及其性质 434
四、条件概率与事件的独立性 435
五、重要概型 436
六、重要公式 436
第2节 重要题型的解题方法和技巧 437
题型一 古典概型与几何概型 437
题型二 事件的关系和概率性质的命题 441
题型三 条件概率与积事件概率的计算 442
题型四 全概率公式与Bayes公式的命题 443
题型五 有关Bernoulli概型的命题 446
第3节 思维定势与综合题解析 447
一、思维定势 447
二、综合题解析 449
习题一 449
第二章 随机变量及其分布 453
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 453
一、概念与公式一览表 453
二、重要的一维分布 457
三、重要的二维分布 459
第2节 重要题型的解题方法和技巧 459
题型一 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题 459
题型二 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数 463
题型三 求一维随机变量函数的分布 466
题型四 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查 469
题型五 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论 471
题型六 求两个随机变量的简单函数的分布 478
第3节 思维定势与综合题解析 483
一、思维定势 483
二、综合题解析 485
习题二 486
第三章 随机变量的数字特征 494
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 494
一、一维随机变量的数字特征（表3-1） 494
二、二维随机变量的数字特征 496
三、几种重要的数学期望与方差（表3-3） 497
四、重要公式与结论 498
第2节 重要题型的解题方法和技巧 498
题型一 求一维随机变量的数字特征 498
题型二 求一维随机变量函数的数学期望 503
题型三 求二维随机变量及其函数的数字特征 505
题型四 有关数字特征的证明题 512
题型五 数字特征在经济中的应用 513
第3节 思维定势与综合题解析 516
一、思维定势 516
二、综合题解析 516
习题三 519
第四章 大数定律和中心极限定理 524
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 524
一、切比雪夫不等式 524
二、中心极限定理 524
三、重要公式与结论 525
四、注意 525
第2节 重要题型的解题方法和技巧 525
题型一 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题 525
题型二 有关中心极限定理的命题 527
习题四 530
第五章 数理统计的基本概念 531
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 531
一、几个基本概念 531
二、三个抽样分布——x2分布、t分布与F分布 532
三、正态总体下常用统计量的性质 532
四、重要公式与结论 533
五、经验分布函数 533
第2节 重要题型的解题方法和技巧 534
题型一 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量 534
题型二 求统计量的分布 535
第3节 思维定势 537
习题五 538
第六章 参数估计 540
第1节 重要概念、定理和公式的剖析 540
一、矩估计与最大似然估计 540
第2节 重要题型的解题方法和技巧 541
题型一 求矩估计和最大似然估计 541
习题六 545