第1章 复数与复变函数 1
1.1复数运算及几何表示 1
1.1.1复数概念及四则运算 1
1.1.2复数的几何表示 3
1.1.3共轭复数 6
1.1.4乘除、乘方与开方 8
1.1.5复球面与无穷远点 13
1.2复平面上的点集 14
1.2.1基本概念 14
1.2.2区域和曲线 14
1.3复变函数 17
1.3.1定义与几何意义 17
1.3.2极限与连续性 20
第1章小结 23
习题1 25
第2章 解析函数 28
2.1解析函数的概念 28
2.1.1复变函数的导数 28
2.1.2复变函数解析的概念 31
2.2函数解析的充要条件 32
2.3解析函数与调和函数 36
2.4初等函数 43
2.4.1指数函数 43
2.4.2三角函数与双曲函数 46
2.4.3对数函数 49
2.4.4幂函数 51
2.4.5反三角函数与反双曲函数 53
2.5解析函数的物理意义 54
2.5.1用复变函数刻画平面向量场 54
2.5.2 平面流速场的复势 55
2.5.3静电场的复势 57
2.5.4平面稳定温度场 59
第2章小结 60
习题2 64
第3章 复变函数的积分 67
3.1复变函数积分的概念 67
3.1.1积分的定义 67
3.1.2积分的性质 68
3.1.3 积分的存在条件与计算 69
3.2柯西积分定理 73
3.2.1柯西积分定理 73
3.2.2不定积分 74
3.2.3复合闭路定理 77
3.3柯西积分公式 79
3.3.1柯西积分公式 79
3.3.2高阶导数公式 84
3.3.3几个重要的推论 87
第3章小结 90
习题3 93
第4章 级数 96
4.1复变函数项级数 96
4.1.1复数序列 96
4.1.2复数项级数 97
4.1.3复变函数项级数 101
4.2幂级数 105
4.2.1幂级数的概念 105
4.2.2幂级数的收敛圆与收敛半径 106
4.2.3幂级数的性质 110
4.2.4幂级数的运算 112
4.3泰勒级数 116
4.3.1泰勒（Taylor）展开定理 116
4.3.2几个初等函数的幂级数展开式 118
4.4洛朗级数 122
4.4.1洛朗级数的概念及性质 123
4.4.2洛朗展开定理 124
4.4.3 求解析函数的洛朗展开式的一些方法 127
第4章小结 130
习题4 134
第5章 留数 136
5.1孤立奇点 136
5.1.1解析函数的孤立奇点及分类 136
5.1.2解析函数在有限孤立奇点的性质 138
5.1.3解析函数的零点与极点的关系 140
5.1.4 解析函数在无穷孤立奇点的性质 142
5.2留数 144
5.2.1留数的定义及其计算规则 144
5.2.2留数的基本定理 148
5.3留数在定积分计算中的应用 153
5.3.1形如R∫2O R（sin θ， cos θ）dθ积分 153
5.3.2形如R∫+∞ -∞ R（x）dx的积分 155
5.3.3形如R∫+∞ -∞ R（x）eiaxdx（a＞0）的积分 157
5.4辐角原理与儒歇定理 162
5.4.1对数留数 162
5.4.2辐角原理 165
5.4.3儒歇定理 166
第5章小结 169
习题5 173
第6章 保形映射 176
6.1保形映射的概念 176
6.2分式线性映射 179
6.3分式线性映射的性质 185
6.4两个重要的分式线性映射 190
6.4.1将上半平面Imz＞0映射成单位圆盘|w|〈1的分式线性映射 190
6.4.2将单位圆盘|z|〈1映射为单位圆盘|w|〈1的分式线性映射 192
6.5几个初等函数所构成的映射 194
6.5.1幂函数w=zn(n=2，3，…） 194
6.5.2指数函数w=ez 199
6.5.3儒可夫斯基函数 202
第6章小结 205
习题6 207
第7章 傅里叶变换 210
7.1傅里叶积分与傅里叶积分定理 211
7.2傅里叶变换与傅里叶逆变换 217
7.3单位脉冲函数 222
7.3.1单位脉冲函数的概念 222
7.3.2 δ函数的性质 226
7.4广义傅里叶变换 229
7.5傅里叶变换的性质 232
7.6卷积 241
7.6.1卷积的概念 241
7.6.2卷积的性质 245
7.6.3卷积在傅氏变换中的应用 249
7.7相关函数 251
7.7.1互相关函数 251
7.7.2 自相关函数 255
7.8傅里叶变换的应用 258
7.8.1非周期函数的频谱 258
7.8.2傅氏变换在求解方程中的应用举例 261
7.9多维傅里叶变换 262
7.9.1多维傅氏变换的概念 263
7.9.2 多维傅氏变换的性质 265
第7章小结 267
习题7 271
第8章 拉普拉斯变换 275
8.1拉普拉斯变换的概念 275
8.1.1拉氏变换的定义 275
8.1.2拉氏变换的存在定理 277
8.2拉普拉斯变换的性质（一） 285
8.3拉普拉斯变换的性质（二） 294
8.3.1初值和终值定理 294
8.3.2卷积定理 297
8.4拉普拉斯逆变换 301
8.5拉普拉斯变换在解方程中的应用 307
第8章小结 312
习题8 315
参考文献 319
习题答案 320
附录 332
附录Ⅰ傅氏变换简表 332
附录Ⅱ拉氏变换简表 338