第一部分 复函数 3
第1章 复数 3
1.1复数的概念 3
1.1.1复数的引入 3
1.1.2复数的对应 4
1.1.3复数的自身运动 5
1.2复数的运算体系 5
1.2.1基本定义 5
1.2.2基本运算 5
1.2.3共轭复数运算 6
1.2.4模运算 6
1.3复数应用 9
1.3.1复解析几何 9
1.3.2三角方程的复证明 10
1.3.3复数在电学上的应用 11
1.3.4复Riemann球面 12
第2章 复函数 15
2.1复函数定义 15
2.2指数函数和对数函数 16
2.2.1指数函数 16
2.2.2对数函数 17
2.3三角函数和双曲函数 17
2.3.1三角函数 17
2.3.2双曲函数 20
2.3.3反三角函数和反双曲函数 21
2.4幂函数和根式函数 22
2.4.1幂函数 22
2.4.2根式函数 22
2.5映射 22
第3章 解析函数（Ⅰ） 25
3.1单连域与复连域 25
3.1.1邻域 25
3.1.2区域 25
3.1.3单连域和多连域 26
3.2复函数的极限和连续性 26
3.2.1复函数极限 26
3.2.2复函数的连续性 27
3.3复函数导数和微分 28
3.3.1复函数的导数 28
3.3.2复微分 29
3.4解析函数 30
3.5评论 33
第4章 解析函数（Ⅱ） 35
4.1分析方面解析函数是调和函数 35
4.2几何方面解析函数满足保角映射 36
4.3物理方面解析函数表示无源、无旋向量场 39
4.3.1流量N 39
4.3.2旋量Γ 40
4.3.3解析函数 41
4.4复位函数及其应用 41
第5章复算子W 48
5.1复算子 48
5.2复算子积分定理 50
5.3复偏导数 52
第6章多值函数 54
6.1解析开拓 54
6.1.1解析开拓概念 54
6.1.2幂级数开拓 55
6.1.3完全解析函数 6
6.2Riemann曲面 56
6.2.1根式函数n?z的Riemann曲面 56
6.2.2函数Lnz的Riemann曲面 57
6.2.3完全解析函数的Riemann曲面 58
第二部分 复积分 65
第7章复积分 65
7.1复积分概念 65
7.2参数方程法 66
7.3积分基本性质 67
7.4Cauchy-Goursat定理 69
7.5复函数的自身运动 71
第8章复合闭路积分 73
8.1复合闭路积分 73
8.2Cauchy积分 76
8.3解析函数的高阶导数 78
8.4最大模定理 80
8.5复积分小结 82
8.5.1复积分的要素是路径C和路径函数f（z） 82
8.5.2复积分小结 82
第三部分 复级数 87
第9章复幂函数 87
9.1复数项级数 87
9.1.1序列收敛 88
9.1.2比较判别法 88
9.1.3绝对收敛定理 89
9.2复幂级数 89
9.3收敛图和收敛半径 91
9.4幂级数的收敛性质 93
第10章Taylor级数和Laurent级数 96
10.1Taylor级数和Laurent级数 96
10.2三套点 97
10.3三种展开 97
第四部分 留数 107
第11章留数定理（Ⅰ） 107
11.1孤立奇点 108
11.2复函数中零点与极点之间的关系 109
11.3复函数在无穷远处的性态 110
11.4留数定理 111
第12章留数定理（Ⅱ 116
第13章留数应用（Ⅰ） 124
13.1第一类实积分∫2πoR（cosθ，sinθ）dθ 125
13.2第二类实积∫∞-∞R（x）dx 128
第14章留数应用（Ⅱ） 132
14.1第三类积∫∞-∞R（x）eiax dx（a＞0） 132
14.2第四类实积∫∞-∞R（x）dx 134
第15章留数应用（Ⅲ） 139
15.1指数型积分 139
15.2多值函数积分 141
15.3广义δ函数的复路径表示 147
15.3.1亥维塞函数 147
15.3.2广义δ（x）函数 148
第16章对数留数 149
16.1对数留数 150
16.2辐角原理 151
16.3Rouche（儒歇）定理 153
第17章二维静场和留数定理 155
17.1二维静电场的矢量理论 155
17.2二维静电场的留数定理 156
17.3二维稳流场的留数定理 157
第五部分 保角映射 161
第18章保角映射 161
18.1解析函数的保角特性 161
18.2保角映射中电容C的不变性 164
第19章初等函数映射 169
19.1幂函数映射 169
19.2指数函数和对数函数映射 172
19.3反余弦函数映射 175
第20章分式线性映射 180
20.1基本映射 180
20.2分式线性映射的保圆性 182
20.3分式线性映射的保对称性 183
20.3.1r圆周的对称点 183
20.3.2对称点定理 183
20.4分式线性映射的唯一性 184
第21章分式映射圆变圆 191
21.1圆变换定理和它的应用 191
21.2圆几何理论 194
第22章有源保角映射与平面镜像法 201
22.1平面介质镜像统一模型 202
22.2导体圆柱的有源保角映射 203
22.3复杂导体柱的有源映射 206
第23章保角映射和电轴法 210
23.1电轴法 210
23.2保角映射 211
第24章Schwarz映射 215
24.1Schwarz映射 215
24.2两个实例 218
24.3Schwarz映射的电磁应用 220
第25章逆儒可夫斯基映射 228
25.1逆儒可夫斯基映射 228
25.2有源逆儒可夫斯基映射 229
25.3无源对数逆儒可夫斯基映射 233
第六部分 Γ函数和Jacobi椭圆函数 239
第26章Γ函数 239
26.1实域中的Γ函数和B函数 239
26.1.1Γ函数 239
26.1.2B函数 241
26.1.3Γ函数和B函数 242
26.2复域中的Γ函数和B函数 244
26.2.1复Γ函数 244
26.2.2复B函数 248
第27章Jacobi椭圆函数 249
27.1椭圆积分 249
27.1.1第一类和第二类完全椭圆积分 249
27.1.2第一类和第二类一般椭圆积分 249
27.2Jacobi椭圆函数 250
27.3椭圆函数的加法公式 252
27.4Jacobi复开拓 254
27.4.1Jacobi虚宗量函数 254
27.4.2Jacobi椭圆函数的周期性质 255
27.4.3Jacobi椭圆函数复开拓 256
第28章Jacobi保角映射 258
28.1再谈圆函数和椭圆函数 258
28.2Jacobi椭圆函数的保角映射 259
第29章Jacobi滤波器 264
29.1Jacobi椭圆函数的双周期 264
29.2Jacobi椭圆函数逼近 265
29.3Cour的分析 266
29.4Jacobi逼近函数 269
29.5Jacobi综合 270
29.6n=3的椭圆函数滤波器设计实例 273
第七部分 鞍点法和驻相法 279
第30章鞍点法和驻相法 279
30.1鞍点法 279
30.1.1鞍点法的基本概念 279
30.1.2鞍点法 281
30.1.3修正鞍点法 286
30.2驻相法 287
参考文献 291
附录1Euler公式 292
附录2复数计算π 293
附录3复梯度WS 295
附录4唯一性定理 296
附录5Clausen悖论 297
附录6平面Green定理 298
附录7关于∞远处留数的几个问题 300
附录8概率积分∫∞oe-x2dx=?π－2 301
附录9边界角点为极点的留数作用 302
附录10机翼映射 303
附录11证明k=th(πw－2b） 305
附录12积分∫∞oxp-1——1+x=π——sinpπ（0＜p＜1） 307