第一讲 实数与实函数 1
1.1 实数与实函数的基本概念 1
一、实数 1
二、实数的性质 1
三、关于实数点集的一些重要概念 2
四、实函数 4
1.2 实数与实函数的典型问题讨论 5
习题1 8
第二讲 数列的极限 10
2.1 数列极限的基本概念 10
一、数列的收敛与发散 10
二、数列收敛的条件 11
2.2 求数列极限的方法 12
一、利用单调有界原理 12
二、利用迫敛法则 14
三、利用柯西准则 15
四、利用Stolz定理 15
五、利用特殊极限 16
六、利用定积分 16
七、利用级数 17
八、转化为函数的极限 18
九、各种方法的综合应用 18
习题2 20
第三讲 一元函数的极限 22
3.1 一元函数极限的基本概念 22
一、一元函数极限的类型与定义 22
二、一元函数极限存在的条件 22
三、一元函数极限的性质 23
四、无穷小量与无穷大量 23
3.2 一元函数极限的典型例题及方法 23
一、利用定义 23
二、利用双侧极限 26
三、利用特殊极限 27
四、利用无穷小量 27
五、利用泰勒展式 28
六、利用洛必达法则 28
七、利用迫敛法则 29
八、综合方法的应用 30
习题3 30
第四讲 一元函数的连续性 32
4.1 一元函数的连续与间断 32
一、函数在一点的连续性 32
二、函数在区间上的连续性 32
4.2 关于函数连续性的问题讨论 33
一、利用定义讨论连续性 33
二、关于连续函数性质的讨论 36
三、关于一致连续性的讨论 39
习题4 43
第五讲 导数与微分 44
5.1 导数与微分的基本概念 44
一、可导与导数 44
二、可微与微分 45
5.2 关于导数与微分的一些问题讨论 46
一、用导数的定义证明问题 46
二、导函数的特性 47
三、导数与微分的计算 48
习题5 53
第六讲 微分中值定理及导数的应用 54
6.1 微分中值定理及导数应用的基本概念 54
一、微分中值定理 54
二、导数的应用 56
6.2 微分中值定理及导数应用中的典型问题 59
一、有关中值定理问题的证明技巧 59
二、凸函数及其特性 64
习题6 68
第七讲 不定积分 70
7.1 不定积分的概念 70
一、原函数 70
二、不定积分 70
7.2 不定积分的几个问题讨论 73
一、原函数的存在问题 73
二、求解不定积分的技巧 74
习题7 78
第八讲 定积分 79
8.1 定积分的概念 79
一、定积分的定义 79
二、可积条件 79
三、可积函数类 80
四、定积分性质 81
五、定积分计算 85
8.2 定积分中的问题讨论 89
一、用定积分定义证明问题 89
二、柯西—施瓦茨不等式系列 92
三、函数的零点个数问题 93
四、杂例 94
五、关于勒让德多项式的微积分性质 98
习题8 100
第九讲 广义积分 101
9.1 广义积分的概念 101
一、无穷区间的广义积分 101
二、无界函数的广义积分 103
9.2 广义积分中的问题讨论 105
一、广义积分敛散的判别 105
二、被积函数趋于零的问题 108
三、广义积分的计算 110
习题9 114
第十讲 含参变量的积分 115
10.1 含参变量积分的基本概念 115
一、含参量的正常积分 115
二、含参量的广义积分 116
10.2 含参量广义积分重点问题讨论 119
一、关于一致收敛问题 119
二、含参量广义积分的性质 121
三、利用含参量积分的性质计算广义积分 122
习题10 125
第十一讲 数项级数 126
11.1 数项级数的基本概念 126
一、数项级数的一般性概念 126
二、正项级数 127
三、一般项级数的敛散性 128
11.2 数项级数的一些重要问题讨论 129
一、关于级数敛散的概念问题 129
二、关于级数敛散的判别问题 134
习题11 137
第十二讲 函数列与函数项级数 139
12.1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛 139
一、函数列 139
二、函数项级数 141
12.2 函数列与函数项级数主要问题讨论 144
一、关于一致收敛的判定 144
二、关于极限函数与和函数的性质 151
习题12 153
第十三讲 幂级数与傅里叶级数 155
13.1 幂级数与傅里叶级数的一般概念 155
一、幂级数 155
二、傅里叶级数 158
13.2 幂级数与傅里叶级数主要问题讨论 160
一、一致收敛及其他性质的证明问题 160
二、求收敛域、和函数及展成幂级数或傅里叶级数问题 165
习题13 169
第十四讲 多元函数的极限与连续 171
14.1 多元函数极限与连续的基本概念 171
一、关于平面点集 171
二、二元函数及极限 172
三、二元函数的连续性 176
14.2 多元函数极限与连续一些主要问题讨论 177
一、对一类在原点处为“0/0”型的函数其极限存在与否的判定 177
二、关于连续性问题的讨论 178
三、二元函数连续与各变元分别连续问题 179
四、杂例 181
习题14 182
第十五讲 多元函数微分学 183
15.1 多元函数微分的基本概念 183
一、偏导与全微分 183
二、偏导与全微分的计算 185
三、隐函数与隐函数组 187
四、偏导与全微分的应用 191
15.2 多元函数微分学中重点问题讨论 195
一、可微、偏导、连续及偏导函数连续之间的关系 195
二、关于求偏导及全微分 197
三、变量代换化简偏微分方程 199
四、混合偏导与求导顺序无关问题 200
五、应用问题 202
习题15 205
第十六讲 重积分 206
16.1 重积分的基本概念 206
一、二重积分 206
二、三重积分 210
三、重积分的应用 213
16.2 重积分的一些问题讨论 216
一、关于重积分计算的典型问题 216
二、重积分的证明问题 220
习题16 222
第十七讲 曲线积分与曲面积分 224
17.1 曲线积分与曲面积分的概念 224
一、第一型曲线积分 224
二、第二型曲线积分 226
三、第一型曲面积分 229
四、第二型曲面积分 231
五、场论初步 234
17.2 曲线积分与曲面积分的典型问题 236
习题17 249
习题提示与参考答案 251
参考文献 272