第一编 中国数学从兴起到形成一门学科——原始社会到西周时期的数学第一章 中国数学的兴起——原始社会的数学 3
第一节 图形观念的形成 3
一 图形观念的产生 3
二 从方位观念看图形观念 5
三 原始的作图工具——规矩准绳 6
第二节 数概念的形成与原始的记数方法 7
一 数概念的产生 7
二 原始的记数方法 8
第三节 传说中的数学人物 12
一 伏羲 12
二 黄帝和隶首 12
三 尧、舜、禹和倕 13
第四节 从原始社会晚期的社会结构看当时数学的发展 14
第二章 数学形成一门学科——夏、商、西周三代的数学 16
第一节 十进位值制记数法的形成 16
一 甲骨文和金文中的数字 16
二 十进位值制记数法 21
第二节 数学成为一门学科 22
一 社会管理和工作的需要与数学的发展 22
二 数学进入教学科目 24
三 商高及其所掌握的数学知识 24
第二编 中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学 29
第三章 春秋至汉代数学概论 29
第一节 春秋战国秦汉数学与社会及文化背景 29
一 春秋战国数学与社会及文化背景 29
二 秦汉数学与社会及文化背景 30
第二节 算法式数学在春秋战国时期达到高峰 32
一 整数四则运算在春秋时期的普及 32
二 分数、比和比例的广泛使用 36
三 从先秦文献看春秋战国时代的算法化数学——“九数” 38
四 先秦时期的其他数学知识 44
第三节 理论思辨倾向——春秋战国数学的新动向 49
一 墨家与数学 50
二 名家的数学思想 59
三 先秦道家等学派的无限思想 63
四 春秋战国时期的理性思辨与数学 64
第四节 秦简《数》与汉简《算数书》 65
一 秦简《数》 65
二 《算数书》的体例、表达方式及特点 66
三 《算数书》的编纂 71
四 《算数书》的内容及其在中国数学史上的地位 72
第五节 《周髀算经》和陈子 73
一 《周髀算经》 73
二 陈子 76
第六节 《九章算术》和张苍、耿寿昌 77
一 《九章算术》的内容 77
二 《九章算术》的体例和编纂 77
三 《算数书》与《九章算术》 84
四 《九章算术》的特点与弱点及其在世界数学史上的地位 86
五 《九章算术》的版本 87
六 张苍和耿寿昌 93
第七节 其他数学家和数学著作 95
一 许商和《许商算术》、《杜忠算术》 95
二 尹咸和刘歆 95
三 张衡和马续 96
第四章 分数、率与盈不足 98
第一节 分数及其四则运算法则 98
一 分数及其表示 98
二 分数四则运算法则 99
第二节 今有术与衰分术、均输术 106
一 今有术 106
二 衰分术 108
三 均输术 111
第三节 盈不足术 112
一 盈不足诸术 113
二 盈不足术在一般数学问题中的应用 115
第五章 面积、体积、勾股与测望 119
第一节 面积 119
一 直线形面积 119
二 曲线形面积 121
三 圆方与方圆 123
四 曲面形面积 124
第二节 体积 125
一 多面体体积 125
二 圆体体积 135
第三节 勾股定理与解勾股形 137
一 勾股定理 137
二 解勾股形 138
三 勾股数组 140
第四节 勾股容方、容圆 142
一 勾股容方 142
二 勾股容圆 142
第五节 测望 142
一 一次测望 143
二 重差的萌芽 143
第六章 开方术、正负术、方程术与数列 145
第一节 开方术 145
一 开平方术 146
二 开立方术 149
第二节 方程术与正负术 151
一 方程和方程术 151
二 损益术 154
三 正负术 156
第三节 数列 160
第三编 中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学第七章 东汉末至唐中叶数学概论 165
第一节 汉末魏晋开始的社会变革与汉末至唐中叶的数学 165
一 汉末魏晋的社会变革与传统数学理论的奠基 165
二 南北朝的社会与数学 170
三 隋至唐中叶的社会与数学 171
第二节 徐岳《数术记遗》和赵爽《周髀算经注》 172
一 刘洪、徐岳与《数术记遗》 172
二 赵爽与《周髀算经注》 177
第三节 刘徽与《九章算术注》、《海岛算经》 178
一 刘徽 178
二 《九章算术注》 180
三 《海岛算经》 183
第四节 南北朝的数学著作和数学家 184
一 关于《九章算术》的研究 184
二 《孙子算经》 185
三 《夏侯阳算经》 188
四 《张丘建算经》 189
五 祖冲之、祖暅之与《缀术》 191
六 甄鸾及其数学著作 194
七 其他数学家 198
第五节 隋至唐中叶的数学著作和数学家 200
一 刘焯 200
二 王孝通与《缉古算经》 201
三 李淳风等整理十部算经 203
四 一行与《大衍历》 205
五 边冈 206
第六节 隋唐算学馆和明算科 206
一 算学馆 206
二 明算科 207
第七节 大数进法和改进计算工具的尝试 208
一 大数进法 208
二 改进计算工具的尝试 209
第八章 率与齐同原理 210
第一节 率的定义和性质 210
一 率的定义 210
二 率的求法和性质 210
第二节 今有术的推广与齐同原理 211
一 今有术的推广 211
二 齐同原理 213
第三节 算术趣题和最小公倍数 216
一 算术趣题 217
二 直接求解数学难题 218
三 最大公约数与最小公倍数的应用 219
第九章 勾股、测望和重差 220
第一节 解勾股形诸公式的证明 220
一 赵爽、刘徽对勾股定理的证明 220
二 赵爽、刘徽对解勾股形诸公式的证明 221
三 刘徽对勾股数组公式的证明 226
四 王孝通对解勾股形问题的拓展 226
第二节 勾股容方、容圆公式的证明 228
一 借助出入相补原理的证明 228
二 借助勾股相与之势不失本率原理的证明 229
第三节 重差术 230
一 重差诸术 230
二 制图六体与数学 234
第四节 其他测望问题 235
一 《张丘建算经》中的测望问题 235
二 《数术记遗注》中的测望问题 236
第十章 开方术、方程术的改进、不定问题和数列 238
第一节 开方术的几何解释和改进 238
一 刘徽关于开方术的几何解释 238
二 刘徽和王孝通关于开方式的造术 240
三 开方术的改进 242
四 刘徽“求微数”与根的近似值 245
五 祖冲之的开差幂和开差立 246
六 一行的求根公式 247
第二节 方程术的进展 247
一 刘徽的方程术理论 247
二 互乘相消法 248
三 方程新术 249
四 《孙子算经》和《张丘建算经》中的方程术 251
第三节 不定问题 253
一 五家共井 253
二 物不知数问题 254
三 百鸡术 255
第四节 等差数列和等比数列 256
一 等差数列 256
二 等比数列 258
第十一章 无穷小分割和极限思想 259
第一节 割圆术 259
第二节 刘徽原理 260
第三节 祖暅之原理与圆体体积 263
一 祖暅之原理 263
二 牟合方盖与球体积 265
第四节 极限思想在近似计算中的应用 267
一 圆周率 267
二 圆率和方率 271
三 弧田密率 271
第五节 刘徽的面积、体积的推导系统 273
一 刘徽的面积推导系统 273
二 对多面体体积公式的证明 275
三 刘徽的体积推导系统 279
第六节 刘徽的极限思想在数学史上的地位 281
一 刘徽的无穷小分割思想与先秦墨家、名家、道家 281
二 刘徽的极限和无穷小分割思想与古希腊的比较 282
第十二章 刘徽的逻辑思想和数学理论体系 284
第一节 刘徽的辞与理、类、故 284
一 理 284
二 类 285
三 故 285
第二节 定义 286
第三节 类比和归纳 287
一 类比 287
二 归纳推理 287
第四节 刘徽的演绎推理 288
一 三段论和关系推理 289
二 假言推理、选言推理、联言推理和二难推理 290
三 数学归纳法的雏形 292
第五节 数学证明 293
一 综合法 293
二 分析法与综合法相结合 294
三 反驳及刘徽的失误 294
第六节 刘徽的数学理论体系 295
第十三章 隋唐历法中的数学方法 298
第一节 隋唐历法的创造性转变 298
一 张子信的发现及其意义 298
二 隋唐历法计算结构的数学化 299
第二节 二次内插算法 300
一 《皇极历》 300
二 刘焯二次内插算法及其算理分析 301
三 唐代历法对二次内插算法的改进与发展 304
四 相减相乘法 307
第三节 隋唐历法中若干典型数学方法 309
一 刘焯《皇极历》定朔算法 309
二 李淳风《麟德历》晷影算法 313
三 一行《大衍历》的九服晷影算法 316
四 边冈《崇玄历》对黄赤道差与月亮黄纬的计算 317
第十四章 隋唐时期中国和朝鲜、日本、印度的数学交流 322
第一节 中国和朝鲜的数学交流 322
第二节 中国和日本的数学交流 324
一 中国历算传入日本 324
二 早期算学教育制度的引进 326
三 隋唐时期传入日本的中算书与日本古代算学内容的遗存 329
第三节 中国和印度的数学交流 334
一 印度数学传入中国 334
二 中国数学对印度的影响 338
第四编 中国传统数学的高潮——唐中叶至元中叶的数学 341
第十五章 唐中叶至元中叶数学概论 341
第一节 传统数学的高潮与唐中叶开始的社会变革 341
一 唐中叶开始的社会变革和数学的发展 341
二 思想宽松是数学发展的必要条件 342
三 社会需要是数学发展的强大动力 343
四 宋元统治者重视数学 344
五 宋元数学的特点 348
第二节 传本《夏侯阳算经》 351
一 传本《夏侯阳算经》的年代与内容 351
二 《夏侯阳算经》的版本 353
第三节 贾宪和《黄帝九章算经细草》 354
一 贾宪和他的老师楚衍 354
二 《黄帝九章算经细草》大部存世考 355
三 《黄帝九章算经细草》的数学成就和数学思想 357
第四节 刘益和《议古根源》 358
一 刘益 358
二 《议古根源》 358
第五节 秦九韶和《数书九章》 359
一 秦九韶的生平 360
二 秦九韶人品辨 361
三 《数书九章》 363
第六节 李冶和《测圆海镜》、《益古演段》 364
一 李冶 364
二 洞渊九容和《测圆海镜》 367
三 《益古集》和《益古演段》 370
第七节 杨辉和《详解九章算法》、《杨辉算法》 372
一 杨辉 372
二 《详解九章算法》 374
三 《日用算法》和《杨辉算法》 375
第八节 朱世杰和《算学启蒙》、《四元玉鉴》 379
一 朱世杰 379
二 《算学启蒙》 379
三 《四元玉鉴》 380
第九节 其他数学家和数学著作 382
一 李籍和《九章算术音义》、《周髀算经音义》 382
二 《谢察微算经》 384
三 沈括和《梦溪笔谈》的数学成就 384
四 王恂、郭守敬和《授时历草》 386
五 赵友钦和《革象新书》 388
六 沙克什和《河防通议·算法门》 389
七 其他数学家和数学著作 390
第十六章 计算技术的改进和珠算的发明 394
第一节 ○和十进小数 394
一 ○和数码 394
二 十进小数 396
第二节 计算技术的改进 400
一 重因法、以加减代乘除与求一法 401
二 留头乘法与九归、归除 404
第三节 珠算的产生 406
一 珠算产生诸说 406
二 珠算最迟产生于宋代 408
第十七章 勾股容圆和割圆术 409
第一节 勾股容圆 409
一 洞渊九容 409
二 圆城图式 411
三 识别杂记 412
第二节 割圆术 417
一 沈括的会圆术 417
二 《授时历》的弧矢割圆术 417
三 赵友钦的割圆术 419
第十八章 高次方程数值解法与天元术、四元术 422
第一节 高次方程数值解法 422
一 立成释锁法 422
二 贾宪三角 422
三 增乘开方法 424
四 益积术和减纵术 426
五 正负开方术 427
第二节 天元术 435
一 天元术的历史 435
二 天元术的完善和应用 444
第三节 四元术 447
一 四元术的历史发展 447
二 四元消法 448
三 二元术 449
四 三元术 451
五 四元术 454
第十九章 垛积术、招差术 457
第一节 垛积术 457
一 隙积术 457
二 垛积术 458
第二节 招差术 463
一 《授时历》的招差术 463
二 《四元玉鉴》的招差术 465
第二十章 大衍总数术与纵横图 469
第一节 大衍总数术 469
一 大衍总数术的由来 469
二 大衍总数术 470
第二节 纵横图 490
一 河图、洛书与纵横图 490
二 杨辉等的纵横图 492
三 丁易东的纵横图 496
第二十一章 唐中叶至元的中外数学交流 500
第一节 中外数学交流概况 500
一 9世纪之后伊斯兰地区的数学发展概况 500
二 宋元时期中国与伊斯兰国家的数学交流 501
第二节 中国数学的外传 503
一 中国数学对伊斯兰国家的影响 503
二 中国数学对朝鲜和日本的影响 506
第三节 伊斯兰国家数学的传入 506
一 数学著作的传入 506
二 阿拉伯数码与纵横图 507
三 土盘算法及格子算 510
第五编 传统数学主流的转变与珠算的发展——元中叶至明末数学第二十二章 元中叶至明末数学概论 513
第一节 明代数学的社会背景 513
第二节 古算著作与成果在明代的失传 515
一 《永乐大典·算》与明初朝廷收藏的数学著作 515
二 古算书的失传 517
三 数学成果的失传 518
第三节 明代数学主流的转变 520
一 明代数学著作概况 520
二 明代数学的主流及杨辉的影响 522
第二十三章 元中叶至明末的主要数学家和数学著作 525
第一节 元中后期的数学家和数学著作 525
一 《透帘细草》 525
二 丁巨及其《丁巨算法》 526
三 贾亨的《算法全能集》 528
四 《详明算法》 529
第二节 明初的数学家和数学著作 530
一 严恭及其《通原算法》 530
二 刘仕隆及其《九章通明算法》 531
三 夏源泽的《指明算法》 533
四 其他算书 533
第三节 筹珠并用的数学家和数学著作 534
一 吴敬及其《九章算法比类大全》 534
二 王文素及其《算学宝鉴》 536
三 其他算书 540
第四节 理论数学研究的余绪 542
一 唐顺之及其《数论》六篇 542
二 顾应祥及其四部数学著作 543
三 周述学及其《历宗算会》 547
四 朱载堉及其《算学新说》和《嘉量算经》 550
第五节 珠算数学家和数学著作 552
一 《算法统宗》以前的珠算著作 552
二 程大位及其《算法统宗》和《算法纂要》 558
三 其他珠算著作 561
第二十四章 数学的歌诀化与珠算的普及 562
第一节 数学的实用化与歌诀化 562
一 数学的实用化、大众化与商业化 562
二 数学的歌诀化 563
三 元末以来的数学歌诀化算题 564
第二节 明代数学中的各种“杂法” 566
第三节 珠算的发展与普及 568
一 元明时代几项珠算史料所反映的情况 568
二 数学著作中对珠算的反映 569
三 珠算的普及与筹算的消失 570
第二十五章 明代的若干数学工作 573
第一节 开方及方程的数值解法 573
一 元中后期的增乘开方法 573
二 《通原算法》的开方法 574
三 吴敬、王文素等的开方法 575
四 珠算开方法 577
五 开带从方法 578
第二节 一次同余方程组与不定方程 580
一 一次同余方程组的解法 580
二 不定方程问题 584
第三节 勾股术、测圆术与弧矢术 587
一 勾股术 587
二 测圆术 589
三 弧矢术 590
第四节 纵横图 593
第五节 九进位制与十进位制的小数换算 598
第二十六章 中国数学在朝鲜和日本的传播与影响 600
第一节 中国数学外传朝鲜半岛及其影响 600
一 中国数学在李氏朝鲜初期的流传与影响 600
二 17世纪朝鲜对中国历算著作的引进 601
三 宋元明数学著作的流传与影响 602
第二节 中国数学在日本的传播与影响 605
一 珠算与明代数学著作在日本的传播 605
二 宋元数学著作在日本的传播 607
三 宋元明著作对日本数学的影响 608
第三节 其他交流 609
第六编 西方数学的传入与中西数学的会通——明末至清末的数学第二十七章 明末清初西方数学的传入与清初的研究 613
第一节 明末西方数学的传入 613
一 西方数学著作的编译 613
二 《崇祯历书》中的数学 618
第二节 王锡阐与薛凤祚的数学工作 621
一 王锡阐及其《圜解》 621
二 薛凤祚及其《比例对数表》等著作 624
第三节 梅文鼎及其数学研究 627
一 梅文鼎 627
二 数学著作的内容概述 627
三 立体几何与球面三角方面的创见 631
第四节 其他数学家的工作 637
一 方中通及其《数度衍》 637
二 李子金的数学工作 640
三 陈厚耀对排列组合的研究 641
四 陈世仁及其《少广补遗》 643
第二十八章 清初西方数学的传入 647
第一节 康熙帝与西方数学的再次传入 647
一 康熙的数学学习 647
二 安多和《算法纂要总纲》的编纂 649
第二节 《数理精蕴》 655
一 蒙养斋算学馆与《数理精蕴》的编纂 655
二 《数理精蕴》的内容及其西方数学来源 658
三 《数理精蕴》的影响 667
第三节 西学中源说与康熙的数学地位 668
一 借根方即天元术说 668
二 康熙与符号代数传入的失败 669
三 “西学中源”说及康熙的数学地位 670
第四节 康熙雍正时代传入的其他西方数学 671
一 对数表的传入 671
二 杜德美与杜氏三术 672
三 年希尧《视学》与Pozzo原著的关系 673
第二十九章 清中叶传统数学著作的整理和研究 675
第一节 清中叶数学概述 675
一 中国传统数学的复兴 675
二 西方数学的研究与中、西数学知识的互动 676
第二节 传统数学著作的整理和校勘 678
一 戴震与《四库全书》、《武英殿聚珍版丛书》中所收算书 678
二 清中叶对汉唐算经的校勘与研究 682
三 宋元数学书的传刻与研究 684
四 《畴人传》及其续编 688
第三节 传统数学的研究与发展 692
一 谈天三友和其他数学家 692
二 方程论研究 694
三 其他研究工作 706
第三十章 幂级数展开式的研究 729
第一节 明安图及其《割圜密率捷法》 729
一 明安图 729
二 《割圜密率捷法》 730
第二节 董祐诚、项名达、戴煦等的工作 731
一 董祐诚及其《割圜连比例术图解》 731
二 项名达及其《象数一原》 733
三 戴煦及其《求表捷术》 735
第三节 李善兰及其尖锥术 738
一 李善兰 738
二 尖锥术 739
第四节 徐有壬、顾观光、邹伯奇等的研究工作 748
一 徐有壬及其《割圆八线缀术》 748
二 顾观光、邹伯奇的研究工作 750
第三十一章 清末西方数学的传入 753
第一节 清末西方数学传入概况 753
一 李善兰的数学翻译工作 753
二 华蘅芳及其数学翻译研究 754
第二节 几何、代数和三角学著作的翻译 757
一 《几何原本》 757
二 《代数学》和《代数术》 757
三 《三角数理》及其他 758
第三节 微积分和概率论著作的翻译 759
一 《代微积拾级》 759
二 《微积溯源》 760
三 其他有关微积分的著作 760
四 《决疑数学》 761
第三十二章 清末数学研究 763
第一节 夏鸾翔、白芙堂诸子和其他数学家 763
一 夏鸾翔及其数学著作 763
二 白芙堂诸子及其数学著作 764
三 刘彝程及其数学著作 767
四 陈志坚、周达及其数学著作 769
第二节 数论的研究 771
一 素数的研究 771
二 整数勾股形的研究 772
三 百鸡术和大衍总数术的研究 775
第三节 垛积术与招差术的研究 781
一 李善兰的垛积术 781
二 夏鸾翔的垛积招差研究 785
三 刘彝程的垛积术研究 789
第四节 开方术的研究 792
一 夏鸾翔对开方术的研究 792
二 华蘅芳的数根开方术与积较开方术 794
第五节 对圆锥曲线和微积分的研究 798
一 圆锥曲线作图 799
二 二次曲线求积问题 800
三 平圆容切与累圆 810
第三十三章 清末数学教育 817
第一节 清末数学教育概述 817
一 数学教育的变革 817
二 清末的数学教育观念 821
三 清末的留学活动与数学留学生 822
第二节 晚清数学教育 824
一 洋务学堂的数学教育 824
二 书院的变革与数学教育 831
三 教会学校的数学教科书 833
四 癸卯学制的数学课程 834
第三节 数学丛书、数学社团与刊物 836
一 数学丛书的编纂 836
二 数学社团 837
三 数学刊物 839
主要参考文献 843
后记 854
总跋 857