第1章 复变函数 1
1.1 复数的概念 1
1.2 复数的几何表示法 2
1.3 复数的运算 5
1.4 复变函数 8
1.5 复变函数的极限 13
1.6 复变函数的连续 13
习题 14
第2章 解析函数 16
2.1 复变函数的导数 16
2.2 柯西-黎曼条件 17
2.3 解析函数 21
2.4 解析函数与调和函数的关系 23
2.5 初等解析函数 26
2.6 解析函数的应用——平面场的复势 31
习题 36
第3章 复变函数的积分 39
3.1 基本概念 39
3.2 复变函数和积分 40
3.3 柯西定理 42
3.4 柯西积分公式 45
3.5 柯西积分公式的几个推论 49
习题 52
第4章 解析函数的幂级数表示法 55
4.1 复数项级数 55
4.2 复变函数项级数 57
4.3 幂级数 62
4.4 解析函数的幂级数展开 65
4.5 解析函数的孤立奇点 76
4.6 解析函数在无穷远点的性质 80
4.7 解析开拓 82
4.8 应用 83
习题 86
第5章 留数理论及其应用 89
5.1 留数的基本理论 89
5.2 用留数定理计算实积分 95
5.3 对数留数和辐角原理 107
习题 110
第6章 广义函数 113
6.1 δ函数 113
6.2 广义函数的引入 114
6.3 广义函数的基本运算 121
6.4 广义函数的傅里叶变换 123
6.5 广义解 127
习题 127
第7章 完备正交函数系展开法 129
7.1 正交性 129
7.2 零函数 130
7.3 完备性 131
7.4 推广 135
第8章 斯特姆-刘维本征值问题 137
8.1 本征值问题的提法 137
8.2 本征值问题的主要结论 139
8.3 其他型的本征值问题 149
第9章 傅里叶级数和傅里叶变换 151
9.1 周期函数和傅里叶级数 151
9.2 完备正交函数系 153
9.3 傅里叶级数的性质 156
9.4 傅里叶级数的应用 163
9.5 有限区间上的函数的傅里叶级数 166
9.6 复指数形式的傅里叶级数 168
9.7 傅里叶展开与罗朗展开的联系 169
9.8 傅里叶积分与变换 170
9.9 傅里叶变换的性质 173
9.10 小波变换的引荐 181
9.11 三种定义式 185
习题 186
第10章 拉普拉斯变换 189
10.1 拉普拉斯变换的概念 189
10.2 基本函数的拉氏变换 191
10.3 拉氏变换的性质 192
10.4 拉普拉斯逆变换 199
10.5 应用 207
习题 212
第11章 二阶线性常微分方程的级数解法 214
11.1 常点邻域的级数解法 214
11.2 正则奇点邻域的级数解法 217
11.3 求第二个解的方法 222
11.4 非正则奇点邻域的渐近解 229
11.5 渐近展开和最陡下降法 230
习题 235
第12章 数学模型——定解问题 236
12.1 引言 236
12.2 数学模型的建立 237
12.3 定解条件 247
12.4 定解问题 254
12.5 求解途径 255
习题 256
第13章 二阶线性偏微分方程的分类 257
13.1 基本概念 257
13.2 二阶线性偏微分方程的分类及标准化 258
13.3 二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简 262
13.4 三类方程的物理内涵 264
13.5 二阶线性偏微分方程的特征 266
习题 266
第14章 行波法 268
14.1 通解 268
14.2 行波解 270
14.3 达朗贝尔公式 272
14.4 半无限长弦的自由振动 278
14.5 两端固定的弦的自由振动 281
14.6 齐次化原理（Duhamel原理） 283
14.7 非线性偏微分方程 284
习题 285
第15章 分离变量法 288
15.1 分离变量 288
15.2 直角坐标系中的分离变量法 290
15.3 圆柱坐标系中的分离变量法 312
15.4 球坐标系中的分离变量法 319
习题 325
第16章 勒让德函数 329
16.1 勒让德多项式的定义及表示 329
16.2 勒让德多项式的性质 331
16.3 第二类勒让德函数Ql（x） 338
16.4 勒让德方程的本征值问题 339
16.5 连带勒让德方程及其解 340
16.6 球谐函数 344
16.7 应用 348
习题 354
第17章 贝塞尔函数 356
17.1 贝塞尔方程及其解 356
17.2 整数阶（第一类）贝塞尔函数 360
17.3 修正贝塞尔方程及其解 370
17.4 球贝塞尔方程及球贝塞尔函数 373
17.5 广义贝塞尔函数 379
17.6 应用 379
习题 392
第18章 积分变换法 394
18.1 傅里叶变换 394
18.2 拉普拉斯变换 399
18.3 傅氏正弦变换 405
18.4 傅氏余弦变换 406
18.5 汉克尔变换 407
18.6 应用于有界区域的问题 410
习题 412
第19章 变分法 414
19.1 基本概念 414
19.2 泛函的极值 415
19.3 泛函极值与数学物理问题的关系 419
19.4 求泛函极值的直接方法——里茨法 422
习题 423
第20章 格林函数法 425
20.1 格林公式 425
20.2 稳态边值问题的格林函数法 425
20.3 热传导问题的格林函数法 430
20.4 波动问题的格林函数法 432
20.5 格林函数的确定 434
20.6 应用 443
习题 449
第21章 保角变换法 451
21.1 保角变换及其基本问题 451
21.2 常用的几种保角变换 456
21.3 多角形的变换 466
21.4 应用 473
习题 480
参考文献 482