第1章 集合与映射 1
1.1集合 1
1.1.1集合的概念 1
1.1.2集合的运算 2
1.1.3集合序列的极限 4
1.2映射 5
1.2.1映射的概念 5
1.2.2复合映射及性质 7
1.3二元关系 7
1.3.1二元关系的概念 7
1.3.2等价关系 8
1.4集合的势 10
1.4.1势的概念 10
1.4.2可数集与超穷数 10
1.5序结构 11
1.5.1序关系 11
1.5.2确界与最大元 12
习题1 13
第2章 代数结构与抽象空间 15
2.1代数结构 15
2.1.1代数运算与同构 15
2.1.2群 16
2.1.3环与域 18
2.2线性空间 19
2.2.1线性空间的概念 19
2.2.2线性空间的基与维数 20
2.2.3线性空间中的一些基本概念 21
2.3距离空间 23
2.3.1距离空间的概念及举例 23
2.3.2距离空间的开集与闭集 25
2.3.3极限与连续映射 27
2.3.4距离空间的致密集与紧集 29
2.3.5压缩映射与不动点原理 29
2.4赋范空间 32
2.4.1赋范空间的概念和性质 32
2.4.2赋范空间的基 35
2.4.3赋范空间的同构 35
2.5内积空间 36
2.5.1内积空间的基本概念 36
2.5.2内积空间的正交与投影 38
2.5.3内积空间的正交基 39
2.6 拓扑空间 41
2.6.1拓扑空间的概念 41
2.6.2连续映射与同胚 45
2.6.3拓扑空间的连通性 47
2.6.4拓扑空间的分离性与紧致性 49
2.7拓扑线性空间 51
2.7.1拓扑线性空间的概念 51
2.7.2拓扑线性空间的局部基 52
2.7.3局部凸空间 53
习题2 55
第3章 测度与积分 57
3.1测度 57
3.1.1测度空间 57
3.1.2外测度及由它导出的测度 59
3.1.3 Rn上的Lebesgue测度 64
3.2可测函数与可测函数的积分 65
3.2.1可测函数的概念 65
3.2.2可测函数的积分 66
3.2.3积分号下的极限运算 71
习题3 72
第4章 泛函分析 74
4.1算子与泛函 74
4.1.1算子与泛函的概念 74
4.1.2线性算子与线性泛函 75
4.1.3几种收敛概念 79
4.1.4算子的微分 81
4.2泛函的极值 86
4.2.1泛函极值与变分的概念 86
4.2.2 Euler方程 90
4.2.3泛函极值问题的近似解法 98
4.3广义函数 103
4.3.1广义函数的产生 103
4.3.2基本函数空间与广义函数 105
4.3.3广义函数的支集与广义函数的导数 106
4.3.4速降函数与缓增广义函数 108
4.3.5缓增广义函数的Fourier变换 110
习题4 111
第5章 Sobolev空间 113
5.1 Sobolev空间中的基本概念 113
5.2嵌入定理 115
5.3 Sobolev空间应用 116
习题5 120
第6章 微分流形 121
6.1多元映射的连续性与可微性 121
6.2微分流形的定义 124
6.2.1拓扑流形与微分流形 124
6.2.2 可微函数与可微映射 130
6.3微分流形的应用 131
6.3.1临界点与Sard定理 132
6.3.2 Morse理论 132
6.3.3微分动力系统 135
6.3.4微分流形理论在经济学中的应用 141
习题6 146
第7章 小波分析 147
7.1窗口Fourier变换 147
7.2连续小波变换 149
7.3二进小波、离散小波与框架 153
7.3.1二进小波变换 153
7.3.2离散小波变换 156
7.3.3框架 156
7.4正交小波基与多分辨分析 161
7.4.1正交小波 161
7.4.2多分辨分析 165
7.4.3 Mallat算法 169
7.4.4小波与共轭滤波器 170
7.4.5紧支集正交小波基 172
7.5矢量小波、双正交小波、正交小波包 174
7.5.1矢量小波 175
7.5.2双正交小波 176
7.5.3正交小波包 178
7.6小波分析应用简介 184
7.6.1信号的奇异性与小波变换 184
7.6.2 小波在信号消噪中的应用 186
7.6.3小波在突变点检测中的应用 187
习题7 189
第8章 粗糙集简介 190
8.1知识、粗糙集 190
8.2知识约简 193
8.3知识表达系统 195
8.3.1信息系统 195
8.3.2决策表 196
习题8 199
参考文献 200