第一篇 复变函数论 1
第一章 复变函数和解析函数 1
1.1 复数 1
1.2 复变函数 6
1.3 复变函数的极限与连续 9
1.4 复变函数的导数 11
1.5 解析函数 16
第二章 复变函数的积分 21
2.1 复变函数的积分 21
2.2 柯西定理 23
2.3 柯西公式与高阶导数公式 28
第三章 复变函数的级数 33
3.1 复变函数项级数 33
3.2 幂级数 38
3.3 泰勒级数 41
3.4 罗朗级数 46
3.5 单值函数的孤立奇点 51
第四章 留数定理及其应用 57
4.1 留数定理 57
4.2 几类典型实积分的计算 63
4.3 物理学中的几个实积分 71
4.4 整数与半整数级数和的计算 76
第五章 解析延拓与黎曼面 80
5.1 解析延拓 Γ函数 80
5.2 多值函数与黎曼面 85
第六章 线性常微分方程的级数解法 球函数与柱函数 95
6.1 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 95
6.2 勒让德方程与勒让德多项式 99
6.3 缔合勒让德方程与缔合勒让德函数 109
6.4 贝塞耳方程与贝塞耳函数、诺埃曼函数、汉克耳函数 113
6.5 虚宗量贝塞耳方程与虚宗量贝塞耳函数 129
6.6 球贝塞耳方程与球贝塞耳函数 130
第七章 定解问题 134
7.1 波动问题 134
第二篇 数学物理方程 134
7.2 输运问题 139
7.3 稳定场问题 144
7.4 定解问题小结 148
第八章 行波法与平均值法 150
8.1 无界弦的自由振动达朗贝尔公式及其推广 150
8.2 三维无界空间的自由振动泊松公式 156
9.1 直角坐标系中的分离变量法 159
第九章 分离变量法 159
9.2 柱坐标系中的分离变量法 172
9.3 球坐标系中的分离变量法 181
9.4 斯-刘型本征值问题 187
第十章 积分变换法 197
10.1 傅里叶变换 197
10.2 傅里叶变换法 205
10.3 拉普拉斯变换 211
10.4 拉普拉斯变换法 219
11.1 δ函数 222
第十一章 格林函数法 222
11.2 格林函数法在稳定场问题中的应用 231
11.3 格林函数法在输运问题中的应用 239
11.4 格林函数法在波动问题中的应用 245
第十二章 保角变换法 251
12.1 泛定方程的变换 251
12.2 几种常用的保角变换 253
12.3 用保角变换法求解边值问题 259
13.1 泛函的极值 263
第十三章 变分法简介 263
13.2 里兹法 定态薛定谔方程的本征值问题 267
附录 272
附录1 二阶线性齐次常微分方程ω ″(z)+p(z)ω′(z)+q(z)ω(z)=0的解 272
附录2 几种常用的常系数常微分方程的解 275
附录3 三角函数的正交关系 277
附录4 微分算符？的若干常用公式 278
习题提示和答案 280
参考书目 298