第一章 引论 1
1.1 关于习题课教案的组织 1
1.2 书中常用记号 2
1.3 几个常用的初等不等式 3
1.3.1 几个初等不等式的证明 3
1.3.2 练习题 7
1.4 逻辑符号与对偶法则 9
2.1.1 基本定义 12
2.1 数列极限的基本概念 12
第二章 数列极限 12
2.1.2 思考题 13
2.1.3 适当放大法 14
2.1.4 例题 15
2.1.5 练习题 17
2.2 收敛数列的基本性质 17
2.2.1 思考题 18
2.2.2 例题 18
2.2.3 判定数列发散的方法 21
2.2.4 练习题 25
2.3.1 例题 26
2.3 单调数列 26
2.3.2 练习题 30
2.4 Cauchy命题与Stolz定理 31
2.4.1 基本命题 31
2.4.2 例题 35
2.4.3 练习题 37
2.5 自然对数的底e和Euler常数γ 37
2.5.2 关于e的基本结果 38
2.5.1 与数e有关的两个问题 38
2.5.3 Euler常数γ 43
2.5.4 例题 44
2.5.5 练习题 45
2.6 由迭代生成的数列 46
2.6.1 例题 46
2.6.2 单调性与几何方法 49
2.6.3 练习题 52
2.7.1 学习要点 53
2.7 对于教学的建议 53
2.7.2 补充例题 54
2.7.3 参考题 55
第一组参考题 55
第二组参考题 57
2.8 关于数列极限的一组习题课教案 60
2.8.1 第一次习题课 60
2.8.2 第二次习题课 62
2.8.3 第三次习题课 63
2.8.4 第四次习题课 65
第三章 实数系的基本定理 67
3.1 确界的概念和确界存在定理 67
3.1.1 基本内容 67
3.1.2 例题 67
3.1.3 练习题 69
3.2 闭区间套定理 70
3.2.1 基本内容 70
3.2.2 例题 71
3.2.3 练习题 72
3.3 凝聚定理 73
3.3.1 基本内容 73
3.3.2 例题 73
3.3.3 练习题 74
3.4 Cauchy收敛准则 74
3.4.1 基本内容 74
3.4.2 基本命题 75
3.4.3 例题 76
3.4.4 压缩映射原理 77
3.4.5 练习题 79
3.5 覆盖定理 80
3.5.1 基本内容 80
3.5.2 例题 81
3.5.3 练习题 83
3.6 数列的上极限和下极限 83
3.6.1 基本定义 83
3.6.2 基本性质 84
3.6.3 例题 88
3.6.4 练习题 91
3.7.1 学习要点 92
3.7 对于教学的建议 92
3.7.2 一题多解 93
3.7.3 参考题 95
第一组参考题 95
第二组参考题 96
4.1 函数极限的定义 97
4.1.1 函数极限的基本类型 97
第四章 函数极限 97
4.1.2 函数极限的其他类型 98
4.1.3 思考题 98
4.1.4 例题 99
4.1.5 练习题 102
4.2 函数极限的基本性质 103
4.2.1 基本性质 103
4.2.2 基本命题 104
4.2.3 思考题 107
4.2.4 例题 107
4.2.5 练习题 109
4.3 两个重要极限 110
4.3.1 ？=1 110
4.3.2 ？(1+x)？=e 111
4.3.3 例题 112
4.3.4 练习题 114
4.4 无穷小量、有界量、无穷大量和阶的比较 114
4.4.1 记号o,O与～ 115
4.4.2 思考题 117
4.4.3 等价量代换法 119
4.4.4 练习题 121
4.5 对于教学的建议 122
4.5.1 学习要点 122
4.5.2 参考题 122
第五章 连续函数 124
5.1 连续性概念 124
5.1.1 内容提要 124
5.1.2 思考题 125
5.1.3 例题 125
5.1.4 练习题 128
5.2.1 定理的证明 129
5.2 零点存在定理与介值定理 129
5.2.2 例题 132
5.2.3 练习题 133
5.3 有界性定理与最值定理 134
5.3.1 定理的证明 135
5.3.2 例题 136
5.3.3 练习题 136
5.4.1 内容提要 137
5.4 一致连续性与Cantor定理 137
5.4.2 思考题 138
5.4.3 Cantor定理的证明 138
5.4.4 例题 139
5.4.5 练习题 142
5.5 单调函数 143
5.5.1 基本性质 143
5.5.2 练习题 146
5.6 周期3蕴涵混沌 146
5.6.1 动力系统的基本概念 147
5.6.2 Li-Yorke的两个定理 148
5.7 对于教学的建议 152
5.7.1 学习要点 152
5.7.2 参考题 153
第一组参考题 153
第二组参考题 154
6.1 导数及其计算 157
6.1.1 内容提要 157
第六章 导数与微分 157
6.1.2 思考题 158
6.1.3 例题 159
6.1.4 练习题 166
6.2 高阶导数及其他求导法则 167
6.2.1 高阶导数计算 167
6.2.2 隐函数求导法 171
6.2.3 参数方程求导法 174
6.2.4 练习题 176
6.3.2 微分与近似计算 177
6.3 一阶微分及其形式不变性 177
6.3.1 基本概念 177
6.3.3 一阶微分的形式不变性 179
6.3.4 练习题 180
6.4 对于教学的建议 181
6.4.1 学习要点 181
6.4.2 参考题 181
第一组参考题 181
第二组参考题 183
7.1.1 基本定理 185
第七章 微分学的基本定理 185
7.1 微分学中值定理 185
7.1.2 导函数的两个定理 193
7.1.3 例题 196
7.1.4 练习题 200
7.2 Taylor定理 202
7.2.1 基本定理 203
7.2.2 例题 209
7.2.3 Euler数与Bernoulli数 214
7.2.4 练习题 218
7.3 对于教学的建议 220
7.3.1 学习要点 220
7.3.2 参考题 221
第一组参考题 221
第二组参考题 223
8.1 函数极限的计算 226
8.1.1 L'Hospital法则 226
第八章 微分学的应用 226
8.1.2 Taylor公式与极限计算 229
8.1.3 练习题 234
8.2 函数的单调性 235
8.2.1 例题 235
8.2.2 练习题 238
8.3 函数的极值与最值 238
8.3.1 例题 239
8.3.2 练习题 242
8.4.1 基本命题 243
8.4 函数的凸性 243
8.4.2 练习题 249
8.5 不等式 250
8.5.1 例题 250
8.5.2 用凸性证不等式 255
8.5.3 练习题 258
8.6 函数作图 260
8.6.1 例题 261
8.6.2 练习题 263
8.7.1 迭代算法的收敛速度 264
8.7 方程求根与近似计算 264
8.7.2 Newton求根法 268
8.7.3 练习题 272
8.8 对于教学的建议 272
8.8.1 学习要点 272
8.8.2 参考题 274
第一组参考题 274
第二组参考题 275
9.1.2 思考题 278
9.1.1 内容提要 278
第九章 不定积分 278
9.1 不定积分的计算方法 278
9.1.3 基本计算方法 279
9.1.4 例题 281
9.1.5 特殊计算方法 285
9.1.6 练习题 288
9.2 几类可积函数 289
9.2.1 有理函数的积分 289
9.2.2 三角函数有理式的积分 291
9.2.3 无理函数积分的例子 293
9.2.4 练习题 296
9.3 对于教学的建议 297
9.3.1 学习要点 297
9.3.2 参考题 298
第十章 定积分 299
10.1 定积分概念与可积条件 299
10.1.1 定积分的定义 299
10.1.2 可积条件 300
10.1.3 练习题 304
10.2 定积分的性质 306
10.2.1 积分中值定理 306
10.2.2 例题 307
10.2.3 积分号下求极限 309
10.2.4 练习题 313
10.3 变限积分与微积分基本定理 314
10.3.1 主要命题 314
10.3.2 例题 315
10.3.3 练习题 318
10.4 定积分的计算 319
10.4.1 计算公式与法则 319
10.4.2 例题 320
10.4.3 对称性在定积分计算中的应用 323
10.4.4 用递推方法求定积分 325
10.4.5 积分中值定理的应用 327
10.4.6 练习题 329
10.5.1 学习要点 331
10.5 关于教学的建议 331
10.5.2 参考题 332
第一组参考题 332
第二组参考题 334
第十一章 积分学的应用 336
11.1 积分学在几何计算中的应用 336
11.1.1 基本公式与方法 336
11.1.2 例题 337
11.1.3 Guldin定理 341
11.1.4 练习题 343
11.2 不等式 344
11.2.1 凸函数不等式 344
11.2.2 Schwarz积分不等式 346
11.2.3 其他著名积分不等式 348
11.2.4 不等式的其他例题 350
11.2.5 练习题 353
11.3 积分估计与近似计算 354
11.3.1 积分值的估计 354
11.3.2 积分的近似计算 356
11.3.3 练习题 359
11.4 积分学在分析中的其他应用 360
11.4.1 利用定积分求数列极限 360
11.4.2 Wallis公式与Stirling公式 362
11.4.3 Taylor公式的积分型余项 365
11.4.4 π的无理性证明 367
11.4.5 练习题 368
11.5.1 学习要点 369
11.5 对于教学的建议 369
11.5.2 参考题 370
第一组参考题 370
第二组参考题 372
第十二章 广义积分 375
12.1 广义积分的定义 375
12.1.1 基本定义 375
12.1.2 广义积分与和式极限 377
12.1.3 练习题 378
12.2.1 敛散性判别法 379
12.2 广义积分的敛散性判别法 379
12.2.2 例题 382
12.2.3 练习题 387
12.3 广义积分的计算 388
12.3.1 例题 388
12.3.2 几个特殊广义积分的计算 390
12.3.3 练习题 393
12.4 广义积分的特殊性质 395
12.4.1 收敛无穷限积分的被积函数在无穷远处的性质 395
12.4.2 练习题 397
12.5 关于教学的建议 398
12.5.1 学习要点 398
12.5.2 参考题 398
第一组参考题 398
第二组参考题 401
参考题提示 403
参考文献 417
中文名词索引 419
外文名词索引 423