第五章 多元函数微分学及其应用 1
第一节 n维Euclid空间Rn中点集的初步知识 1
1.1 n维Euclid空间Rn 1
1.2 Rn中点列的极限 2
1.3 Rn中的开集与闭集 4
1.4 Rn中的紧集与区域 9
习题 5.1 10
第二节 多元函数的极限与连续性 10
2.1 多元函数的概念 11
2.2 多元函数的极限与连续性 15
2.3 多元连续函数的性质 19
习题 5.2 20
第三节 多元数量值函数的导数与微分 22
3.1 方向导数与偏导数 22
3.2 全微分 30
3.3 梯度及其与方向导数的关系 38
3.4 高阶偏导数和高阶全微分 43
3.5 多元复合函数的偏导数和全微分 46
3.6 由一个方程确定的隐函数的微分法 54
习题 5.3 57
第四节 多元函数的Taylor公式与极值问题 61
4.1 多元函数的Taylor公式 61
4.2 无约束极值、最大值与最小值 64
4.3 有约束极值，Lagrange乘数法 75
习题 5.4 80
第五节 多元向量值函数的导数与微分 81
5.1 一元向量值函数的导数与微分 82
5.2 二元向量值函数的导数与微分 86
5.3 微分运算法则 90
5.4 由方程组所确定的隐函数的微分法 94
习题 5.5 99
第六节 多元函数微分学在几何上的简单应用 100
6.1 空间曲线的切线与法平面 101
6.2 弧长 106
6.3 曲面的切平面与法线 110
习题 5.6 119
第七节 空间曲线的曲率与挠率 121
7.1 Frenet标架 121
7.2 曲率 125
7.3 挠率 133
7.4 Frenet公式 135
习题 5.7 136
综合练习题 137
第六章 多元函数积分学及其应用 139
第一节 多元数量值函数积分的概念与性质 139
1.1 物体质量的计算 139
1.2 多元数量值函数积分的概念 141
1.3 积分存在的条件和性质 143
习题 6.1 144
第二节 二重积分的计算 145
2.1 二重积分的几何意义 145
2.2 直角坐标系下二重积分的计算法 146
2.3 极坐标系下二重积分的计算法 153
2.4 曲线坐标下二重积分的计算法 158
习题 6.2 164
第三节 三重积分的计算 168
3.1 化三重积分为单积分与二重积分的累次积分 168
3.2 柱面与球面坐标下三重积分的计算法 172
习题 6.3 181
第四节 重积分的应用 184
4.1 重积分的微元法 184
4.2 应用举例 188
习题 6.4 192
第五节 含参变量的积分与反常重积分 193
5.1 含参变量的积分 193
5.2 含参变量的反常积分 196
5.3 反常重积分 200
习题 6.5 204
第六节 第一型线积分与面积分 205
6.1 第一型线积分 205
6.2 第一型面积分 209
习题 6.6 214
第七节 第二型线积分与面积分 217
7.1 场的概念 217
7.2 第二型线积分 219
7.3 第二型面积分 226
习题 6.7 234
第八节 各种积分的联系及其在场论中的应用 237
8.1 Green公式 238
8.2 平面线积分与路径无关的条件 243
8.3 Stokes公式与旋度 251
8.4 Gauss公式与散度 258
8.5 几种重要的特殊向量场 265
习题 6.8 270
综合练习题 275
第七章 常微分方程 277
第一节 常微分方程的基本知识 277
1.1 微分方程与微分方程组 277
1.2 微分方程组及其解的几何解释 282
习题 7.1 284
第二节 线性微分方程组 285
2.1 齐次线性微分方程组 285
2.2 非齐次线性微分方程组 291
习题 7.2 295
第三节 常系数线性微分方程组 296
3.1 常系数齐次线性微分方程组的求解 297
3.2 常系数非齐次线性微分方程组的求解 306
习题 7.3 315
第四节 高阶线性微分方程 316
4.1 高阶线性微分方程解的结构 316
4.2 高阶常系数线性微分方程的求解 319
4.3 高阶变系数线性微分方程的求解问题 332
习题 7.4 336
第五节 微分方程的定性分析方法初步 338
5.1 自治系统与非自治系统 339
5.2 稳定性的基本概念 341
5.3 线性自治系统平衡位置稳定性的判别法 343
5.4 非线性自治系统平衡位置稳定性的判别法 346
5.5 应用举例 355
习题 7.5 363
综合练习题 364
第八章 无限维分析入门 365
第一节 从有限维空间到无限维空间 365
1.1 多维空间概念的现实基础 365
1.2 为什么要研究无限维空间 367
1.3 数学中空间概念的含义 370
第二节 赋范线性空间与压缩映射原理 371
2.1 内积空间 371
2.2 赋范线性空间 374
2.3 赋范线性空间的收敛性与点集性质 377
2.4 空间的完备性 381
2.5 压缩映射原理及其应用 384
习题 8.2 387
第三节 Lebesgue积分与LP（［a，b］）空间 389
3.1 从R积分到L积分 390
3.2 点集的Lebesgue测度与可测函数 391
3.3 Lebesgue积分 396
3.4 Lp（［a，b］）空间 402
习题 8.3 404
第四节 Hilbert空间与最佳逼近问题 405
4.1 正交投影与正交分解 405
4.2 最佳逼近问题 408
4.3 Hilbert空间的正交系与Fourier展开 411
4.4 L2（［-π，-π］）空间的Fourier展开与最佳均方逼近 415
习题 8.4 418
习题答案与提示 419
参考文献 444